Matematicamente Digital - A matemática tecnológica

Aula de Campo com alunos do Terceiro Ano

2010-11-23T10:16:00.000-08:00

Alano Hellery professor da Escola Polivalente afirma que a aprendizagem é um processo que ocorre em todos os lugares e não somente na sala de aula. O ver, o sentir, o tocar, tornam as experiências mais significativas e o que se ouve em sala adquire um caráter mais real, mais palpável. O estudo, in loco dos achados paleontológicos de Santana do Cariri possibilitará aos alunos conhecer de perto os vestígios deixados pelos primeiros animais que habitaram o Ceará durante a pré-história. Além disso, o estudo das condições de relevo, vegetação, clima, altitude, formações geológicas, ajudarão a conhecer melhor a Bacia Sedimentar do Araripe.

As ações desenvolvidas pela equipe formada por mais dois professores (Ribamar e Herbet) foram:

- Informações preliminares sobre a Chapada do Araripe e da cidade de Santana do Cariri;

- Anotação dos dados para a confecção dos relatórios e cálculos a serem requisitados pelas professoras;

- Subida ao Pontal da Santa Cruz

- Visita ao Museu de Paleontologia de Santana do Cariri para conhecimento do acervo;

- Audição de palestra informativa sobre os estudos paleontológicos realizados na região.

Escola Polivalente inicia suas ações para o Exame Nacional do Ensino Médio - ENEM 2010

2010-05-28T21:38:00.001-07:00

O Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) foi Criado pelo ministro Paulo Renato Souza, em 1998) uma prova clássica de 63 questões, cujo o objetivo era avaliar o aprendizado dos alunos e o nível do Ensino Médio brasileiro.

Em 2010 o ENEM vem trazendo várias diferenças entre os seus anteriores, já que ao invés de termos um Ensino Médio voltado ao vestibular, vamos ter um Ensino Médio voltado para a solução de problemas, um ensino mais prático, simples e próximo da realidade dos alunos.

A escola polivalente então vem trazer para a compreensão e as mudanças no exame nacional para seus alunos de terceiro ano do ensino médio uma ação transformadora na construção do aprendizado desses alunados.

A professora Atenéia Suliano de Brito, convidada especial, com sua didática expressiva e objetiva, vem apresentar aos alunos do terceiro ano, mudanças das provas do ENEM. Ela afirma que “o aluno vai ter de aplicar o conteúdo para resolver problemas em situações novas”. São caminhos que não podem ser decorados por meio da prática repetitiva na escola ou no cursinho.

Esperamos que nosso aluno no decorrer do ano sinta-se apto a participarem do Exame Nacional 2010 com clareza e resultados esperados.

Quadrilátero

2009-12-21T19:15:00.000-08:00

Quadrilátero
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°.
Classificação de quadriláteros
Os quadriláteros podem ser considerados Trapézios ou Não Trapézios. O seguinte esquema ilustra a classificação dos diferentes tipos de quadriláteros.
Diagonais

Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de recta que unem dois vértices opostos. Em certos quadriláteros elas tem as mesmas medidas. É o caso do quadrado.

[editar]Trapézios

Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exactamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.

Tipos de trapézios.

[editar]Tipos de Trapézios

Trapézio Isósceles: Os lados opostos não paralelos são de mesmo comprimentos, os lados opostos paralelos não são congruentes, e apresenta um eixo de simetria;
Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°,e não tem um eixo de simetria;
Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes.

[editar]Paralelogramos

Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelogramo. Um paralelogramo apresenta as seguintes características:

A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
As diagonais cortam-se no ponto médio;
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes.

Tipos de Paralelogramos.

[editar]Tipos de Paralelogramos

Paralelogramo Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si; As diagonais são congruentes.
Losango: Todos os lados são iguais entre si; As diagonais são perpendiculares.
Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. Por ser um losango e um quadrado simultaneamente, as diagonais são congruentes e perpendiculares.
Exercício:
1 . Como diferenciar um quadrilátero Trapézio e um não trapézio?
2. Quais os tipos de trapézio?
3. Quais os tipos de paralelogramos e diferencie -os.
4. Descreva o nome dos polígonos de:
9 lados
11 lados
20 lados
22 lados
30 lados
10 lados

FUNÇÃO DO 2º GRAU

2009-11-11T07:53:00.000-08:00

Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo: • 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.• 3a3 + 5a – 1 = 0 → 3a3 + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a3. Portanto, a equação é de 3º grau.• 2y2 + 5 = 0 → 2y2 + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y2. Portanto, a equação é do segundo grau. Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral: ax2 + bx + c = 0 onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b e c deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a R* e b e c R. Veja alguns exemplos de Função afim: f(x) = x2 + 2x +1 ; a = 1 , b = 2 , c = 1 (Completa) f(x) = 2x2 – 2x ; a = 2 , b = - 2 , c = 0 (Incompleta) f(x) = - x2 ; a = -1 , b = 0 , b = 0 (Incompleta) Toda função a do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. A função do 2º grau f(x) = x2 + 2x - 1 pode ser representada por y = x2 + 2x - 1. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.

Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente a. Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola. Sendo f(x) = ax2 +bx + c, a ≠ 0, vamos denotar o valor máximo de f(x) por f(x)máx e o valor mínimo por f(x)min. Em resumo, temos:

Note que o máximo ou mínimo da função f(x) = ax2 + bx +c são ambos dados por e ambos ocorrem para x = . Veja, nestes exemplos, a análise do máximo ou mínimo de funções de 2º grau. a) f(x) = 2x2 – 8x + 3 Como a>0, f(x) admite um valor mínimo. Calculando Δ, temos: Δ = (-8) 2 – 4 . 2 . 3 → Δ = 40 Assim,
f(x)min = → f(x)min = -5 O valor de x para o qual f(x) é mínimo é dado por x = → x =2 Em resumo, para x = 2, a função f(x) = 2x2 – 8x + 3 assume o seu valor mínimo que é -5 b) g(x) = -x2 – 6x + 11 Como a < x =" →" x =" -2" x =" →" x =" 3">

1) DIFERENCIE VALOR MAXIMO E MININO NA FUNÇÃO.

2) O QUE SÃO AS COORDENASDAS DO VERTICE?

3) O QUE SIGNIFICA VÉRTICE DA FUNÇAO?

4) COMO CALCULAR OS VÉRTICES DA FUNÇÃO ?
5) EXPLLIQUE PORQUE NA FUNÇAO DE SEGUNDO GRAU O VALOR DE a TEM QUE SER DIFERENTE DE ZERO.

FUNÇÃO (INTRODUÇÃO)

2009-09-15T04:42:00.000-07:00

Uma função é uma aplicação entre conjuntos. As funções descrevem fenómenos numéricos e podem representar-se através de gráficos sobre eixos cartesianos. O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação ou fórmula da função, já que com ela temos à nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à variável independente, normalmente representada por x, para obter a variável dependente, normalmente representada por y. Podemos imaginar que uma função é uma máquina em que introduzimos um número x do conjunto de partida, dela saindo o número f(x).

Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar que entre dois conjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação:
f : A----- B
Existem várias formas de expressar uma função:
y = ax + b
f (x) = ax + b
entre outras.
Se f for uma função e f(x) = y, diremos que y é a imagem de x pela função e que x é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função.
Em toda a função entre dois conjuntos A B os elementos do conjunto A recebem o nome de variável da função.
Exemplificando, tomemos a função:
f : N ------Z
f(x) = 5x + 2
f (2) = 5 * 2+2 = 12, 2 N
diremos que 12 é a imagem de 2, e que 2 é o objecto ou anti-imagem de 12.

Funções Reais de Variável Real
Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objectos como os do conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por:
f : R---------- R
As funções f(x) = x + 3, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).
Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão:
f : A -----R
sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.

Função de 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0.

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

1 - Quais as classificações de uma função de primeiro grau ? diferencie elas com suas palavras.
2 - Qual a equação geral que formaliza uma função do primeiro grau ?
3 - Diferencie, Dominio, Contra Domínio e Imagem.
4 - Defina e exemplifique uma função de primeiro grau completa e incompleta.
5 - Como você ultiliza a função de primeiro grau no dia à dia ? (pode exemplificar uma situação).

obs: relembrando que esta atividade será em dupla !! contando tambem para as avaliações do terceiro bimestre.

Introdução a Geometria

2009-08-12T19:21:00.000-07:00

A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o Homem teve de medir terrenos.Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo so- bre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo.As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e Babilônica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria.Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilônia à China, passando pela civilização Hindu. Os Babi- lônicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e co- mércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo.A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predeces- sores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.).Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides.Euclides (323 - 285 a.C.) deu um grande contributo para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um méto- do de demonstração rigorosa só muito recentemente superado.

ORIGEM DO DESENHO GEOMÉTRICO

“É possível inclusive que, a partir desta evolução nas relações do homem e da fau- na, nascera, há 60.000 anos, uma arte tão direta, tão inspirada, tão pujante, que con-servou sua imortal juventude.“Não foi nada explosivo. A mão tentou desenhar os traços, movida por um pensa- mento nascente que logrou progressivamente sua regulação, que acumulou experi- ência e que fecundou a imaginação. E é impossível não evocar- tão grande é a continuidade de nossa espécie desde suas origens selvagens- nesses traços gravados no osso, nesses traços curvos e titubeantes, os riscosque traçavam, não há muito, os meninos, como elementos precursores da escrita.” Pierre-Paul Grassé, in La vie des animaux, referindo-se à evolução do homem e ao surgimento da arte de desenhar (pintura pré-histórica encontrada na gruta de Lascaux, França).Como linguagem de comunicação e expressão, a arte do desenho antecede em muito a da escrita. O que é a escrita se não a combinação de pequenos símbolos desenhados? Através de gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados com o seu cotidiano, deixando indicado- res importantes para os pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nos- sa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo inerente ao homem.Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou pela primeira vez, em forma de de- senho, um problema que pretendia resolver – talvez tivesse sido um “projeto” de mo- radia ou templo, ou algo semelhante. Mas esse passo representou um avanço fun- damental na capacidade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia, que ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, grada- tivamente aprimorada, foi muito importante para o desenvolvimento de civilizações, como a dos babilônicos e a dos egípcios, as quais, como sabemos, realizaram ver- dadeiras façanhas arquitetônicas.Porém, uma outra civilização, que não hesitava em absorver elementos de outras culturas, aprendeu depressa como passar à frente de seus predecessores; em tudo que tocavam, davam mais vida. Eram os gregos. Em todas as áreas do pensamen- to humano em que se propuseram a trabalhar realizaram feitos que marcaram defi- nitivamente a história da humanidade.Foram os gregos que deram um molde dedutivo à Matemática. A obra Elementos, de Euclides (?300 a.C.), é um marco de valor inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na Geometria grega que nasce o De- senho Geométrico que aqui vamos estudar.Na realidade, não havia entre os gregos um diferenciação entre Desenho Geomé- trico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geo- metria. Essa conduta euclidiana é seguida até hoje em países como a França, Suí- ça, Espanha, etc., mas, infelizmente, os problemas de construção foram há muitos banidos dos nossos livros de Geometria.Assim, pode-se dizer que o Desenho Geométrico é um capítulo da Geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, se propõe a resolver graficamente problemas de natureza teórica e prática.
Para quem serve o desenho geométrico?
A resolução de um problema de construção geométrica, de um modo geral compreende duas etapas:a pesquisa das propriedades e da seqüência de operações que possibilitam realizar a construção;
a execução de construção pedida, servindo-se dos instrumentos de desenho.Pois bem, na primeira etapa lidamos, de forma teórica, com os elementos da Geometria, exigindo-se dos estudantes muito empenho. O estudo do dese- nho, nessa fase, dará oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico- dedu- tivo, além de despertar a criatividade. Independentemente da área a que vá se dedicar futuramente como profissional, o estudante terá aí um elemento funda- mental na sua formação.Na segunda etapa, quando se manuseiam os instrumentos, desenvolve-se grandemente o sentido de organização; com freqüência, o estudante então experimenta a sensação de realização, ao ver se concretizarem, no papel, as idéias que possibilitaram a construção. Especificamente os que pretendem orientar seus estudos para as áreas de Engenharia ou Arquitetura terão no Desenho Geométrico o instrumental ne- cessário ao Desenho Projetivo, que, por sua vez, será muito utilizado nessas profissões.

Geometria, parte da matemática que estuda as propriedades do espaço. Em sua forma mais elementar, a geometria trata de problemas métricos, como o cálculo da área e do diâmetro de figuras planas e da superfície e volume de corpos sólidos. Outros campos da geometria são a geometria analítica, a descritiva, a topologia, a geometria de espaços com quatro ou mais dimensões, a geometria fractal e a geo- metria não-euclidiana.
Geometria descritiva primitiva Pitágoras e seus discípulos usaram certos axiomas ou postulados e a partir deles deduziram um conjunto de teoremas sobre as propriedades de pontos, linhas, ângu- los e planos, como o famoso teorema de Pitágoras. A obra Elementos, de Euclides, serviu como livro de texto básico de geometria quase até os nossos dias.
Primeiros problemas geométricos Os gregos introduziram os problemas de construção, nos quais certa linha ou figura deve ser construída usando-se apenas uma régua de borda reta e um compasso. Há três famosos problemas de construção que datam da época grega: a duplicação do cubo (construir um cubo cujo volume seja o dobro do de outro cubo preexistente), a quadratura do círculo (construir um quadrado com área igual à de determinado cír- culo) e a trissecção do ângulo (dividir um ângulo em três partes iguais). Nenhuma destas construções é possível usando-se apenas régua e compasso.Os gregos, principalmente Apolônio de Perga, estudaram a família de curvas conhe- cidas como cônicas e descobriram muitas de suas propriedades fundamentais. Arquimedes inventou formas de medir a área de certas figuras curvas, assim como a superfície e o volume de sólidos limitados por superfícies curvas.
Geometria analítica A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637, forjou uma conexão entre a geometria e a álgebra, ao demonstrar como aplicar os métodos de uma disciplina na outra. Este é um funda- mento da geometria analítica, na qual representam-se as figuras através de expres- sões algébricas.
Avanços modernos A geometria sofreu uma mudança radical de direção no século XIX. Gauss, Lobat- chevsky e János Bolyai, trabalhando em separado, desenvolveram sistemas coe- rentes de geometria não-euclidiana.Quase ao mesmo tempo, o britânico Arthur Cayley desenvolveu a geometria para espaços com mais de três dimensões. Outro conceito dimensional, o de dimensões fracionárias, surgiu no século XIX."Geometria",

texto retirado da:

Introdução à Geometria Euclidiana

Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.

Questões:

1. qual a importância da Geometria na vida sua vida cotidiana ?

2. Qual a importância de Euclides para a Geometria?

3. Resuma em 4 linha o texto acima.

4. Retrate a origem e a importância das pirâmides para a Geometria.

5. Comente sobre a Geometria Euclediana. (min 3 linhas)

2009-08-04T19:09:00.000-07:00

As Ciências chamadas Exatas (a Física, a Química, a Astronomia, etc.) baseiam-se na "medição",
sendo esta sua característica fundamental.

Em outras Ciências, ao contrário, o principal é a descrição e a classificação. Assim, a Zoologia
descreve e classifica os animais, estabelecendo categorias de separação entre os seres vivos
existentes.

Todos temos uma certa noção do que é medir e o que é uma medida.

O dono de uma quitanda não pode realizar seus negócios se não mede; com uma balança mede a
quantidade de farinha ou de feijão pedida. Um lojista, com o metro, mede a quantidade de fazenda que
lhe solicitaram. Em uma fábrica mede-se com o relógio, o tempo que os operários trabalham.

Há diferentes coisas que podem ser medidas; o dono da quitanda mede "pesos", o lojista
"comprimentos", a fábrica "tempos". Também podem ser medidos volumes, áreas, temperaturas, etc.

Tudo aquilo que pode ser medido chama-se "grandeza", assim, o peso, o comprimento, o tempo, o
volume, a área, a temperatura, são "grandezas". Ao contrário, visto que não podem ser medidas, não são grandezas a Verdade ou a Alegria.

Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como "unidade".

Careceria de sentido tentar medir uma quantidade de uma grandeza com uma unidade de outra
grandeza. Ninguém, mesmo que esteja louco, pretenderá medir a extensão de um terreno em
quilogramas, ou o comprimento de uma rua em litros.

A Física não trabalha com números abstratos. O fundamental é medir e o resultado da medição é um número e o nome da unidade que se empregou. Assim, pois, cada quantidade fica expressa por uma parte numérica e outra literal. Exemplos: 10 km; 30 km/h; 8h.

Opera-se com as unidades como se fossem números; assim:

As Grandezas comprimento, área e volume

Comprimento:

A unidade de comprimento é o metro (m), o qual pode ser dividido em 100 centímetros (cm) ou 1000 milímetros (mm). O múltiplo do metro mais usado é o quilômetro (km), que vale 1000 m.

Área
A unidade de área é o metro-quadrado (m2). Muitas vezes se faz confusão nas medidas de área, pois um quadrado com 10 unidades de comprimento de lado contém 10 x 10 = 100 unidades de área .

Assim 1cm = 10mm, entretanto, 1cm2 = 100mm2. Da mesma forma:

1 m2 = 1m x 1m = 100cm x 100cm = 10000 cm2

1 m2 = 1000mm x 1000mm = 1.000.000 mm2

Exercícios envolvendo comprimento e área

1- Quantos metros quadrados contém um quilômetro quadrado ?

2- Quantos metros quadrados contém uma quadra de esportes com 100 m de lado ?

3- Um terreno mede 10 m de frente por 30 m de fundo. Qual sua área ?

I SEMINÁRIO MATEMATICAMENTE DIGITAL

2009-06-26T18:47:00.000-07:00

O SEMINÁRIO MATEMATICAMENTE DIGITAL TEM COMO OBJETIVO PRINCIPAL ESTABELECER A PESQUISA E O ENSINO DE METODOLOGIAS DE TRABALHOS PARA OS ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO.
OS TEMAS ABORDADOS NO SEMINÁRIO FORAM:

A CALCULADORA - INSTRUMENTO TECNOLÓGICO NO ENSINO DA MATEMÁTICA.
GRANDES MATEMÁTICOS
JOGOS MATEMÁTICOS
AS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
RACIOCÍNIO LÓGICO
ORIGEM DOS NÚMEROS

A EQUIPE DESTAQUE DESSE I SEMINÁRIO MATEMATICAMENTE DIGITAL FICOU COM AS OPERAÇÕES BÁSICAS DA MATEMÁTICA: TURMA 1 ANO B.
COM PONTUAÇÃO:
TRABALHO REDIGIDO: 40 PONTOS
TRABALHO APRESENTADO: 45 PONTOS
TOTAL DE PONTOS: 85 PONTOS. (Nota parcial. 9,0 (Nove)).
PARABÉNS AOS INTEGRANTES DA EQUIPE.

ALEF RAMALHO
AMANDA PEREIRA
ANA KELLY
CICERO WALISSON
PAULO PEREIRA
RARIZA PEREIRA
VANESSA TAVARES
WALLYSON KELSON.

"as operações fundamentais da matemática são de extrema importância não só na nossa vida escolar mais como no nosso cotidiano em geral e que elas indispensáveis para nossas vidas, porém obtivemos um bom aprendizado nesse trabalho". (equipe 1 ano B).

2009-05-27T12:42:00.000-07:00

PORCENTAGEM

Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática \frac x {100}.

Porém, alguns documentos antigos altamente sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do conceito de representar valores em relação a uma centena é atribuída aos gregos.

Símbolo no século XV

Símbolo no século XVII

Símbolo a partir do século XVIII

Ponto percentual

Ponto Percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de porcentagens.

Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)} mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%.

O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros.

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal

Trabalhando com Porcentagem
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.
Exemplos:
1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.
3.Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.
4.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?

Os números Irracionais

2009-05-13T04:16:00.000-07:00

Os números irracionais são números que não se podem exprimir como uma razão (isto é, um quociente, uma fracção) de números inteiros. São… incalculáveis e incomensuráveis. Por isso também lhe chamaram números “mudos”, números“cegos”, números “surdos”, ou ainda números que “perderam a razão”…

A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está ligada com dados de geométricos que se podem concretizar no problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparada com o seu lado:

Teorema de Pitágoras:

" A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipótenusa "

Dado um quadrado de lado igual à unidade,

quanto mede a diagonal?

Neste quadrado, de lado 1, verificamos que a diagonal d² = 1² + 1² = 2, então teremos que o comprimento da diagonal é dado pela √2.

Foi a tentar resolver este problema usando o Teorema de Pitágoras que os gregos descobriram um "novo" número: o número √2.

O Teorema de Pitágoras provocou, assim, a descoberta de novos números: os irracionais. Representam um marco importante para o pensamento humano, mas foi muito perturbadora para os pitagóricos. De tal maneira, que quiseram manter secreta esta descoberta.

A raiz quadrada de 2 é portanto um dos números irracionais mais célebres. Se tentarmos calculá-la vemos logo que deve ser 1 e …. Qualquer coisa. Mas a “qualquer coisa” é que é o problema! Alguns matemáticos antigos iam perdendo também a razão a tentar descobrir essa “qualquer coisa”! O mais que apuraram, pobres deles, foi 17/12, que é 1 mais “qualquer coisa” (1 é, como sabes, 12/12). Mas o quadrado de 17/12 é 289/144… E que 2 é… 288/144!

Era “quase”!

Os números irracionais são números que são quase exprimíveis como um quociente de números inteiros… Mas a que falta sempre o “quase”!

Assim,

Um número será irracional quando não se pode traduzir por uma fracção do tipo a/b. Dito de outra maneira: Um número diz-se irracional quando não pode exprimir-se por uma dízima finita ou infinita periódica. (Uma dízima será infinita periódica quando existir um conjunto de algarismos que se repete. Exemplo: 1,23452345... que muitas vezes se escreve 1,(2345). O período é o conjunto desses algarismos que se repetem, no nosso exemplo o período é 2345)

Curiosidade

O resultado d cálculo de √2 com algumas(250 ! ! !) casas decimais:
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797 379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248 360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011 527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986 095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463...

Um irracional famoso

Talvez o mais famoso número irracional seja o PI ( ), o quociente entre o perímetro e o diâmetro de um círculo. As calculadoras científicas têm uma tecla para acesso directo a um valor aproximado de com dez, ou mais, dígitos. Por vezes, quando se calcula o perímetro ou uma área de um círculo utiliza‑se como valor aproximado de 3,14... mas actualmente ele já foi calculado com milhões de casas decimais

EXERCICIO:
1 - DE ACORROO COM OS NÚMEROS IRRACIONAIS PESQUISE SOBRE A ORIGEM DO SIMBOLO PI E PUBLIQUE EM SEU COMENTÁRIO !
2 - QUAL A PRINCIPAL DIFERENÇA ENTRE O CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS DO CONJUNTO DOS NUMEROS IRRACIONAIS!
3 - IDENTIFIQUE AS PRINCIPAIS PREMISSAS DO TEXTO ACIMA !

Aula 01 02 03 04 Matemática

2009-05-04T12:36:00.000-07:00

Lógica matemática

Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático-- ou, como propõe Alonzo Church (*Introduction to Mathematical Logic* (Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1956; décima edição, 1996), 'lógica tratada pelo método matemático'. No início do século XX, lógicos e filósofos tentaram provar que a matemática, ou parte da matemática, poderia ser reduzida à lógica.(Gottlob Frege, p.ex., tentou reduzir a aritmética à lógica; Bertrand Russell e A. N. Whitehead, tentaram reduzir toda a matemática então conhecida à lógica -- a chamada 'lógica de segunda ordem'.) Uma das suas doutrinas lógico-semânticas era que a descoberta da forma lógica de uma frase, na verdade, revela a forma adequada de dizê-la, ou revela alguma essência previamente escondida. Há um certo consenso que a redução falhou -- ou que precisaria de ajustes --, assim como há um certo consenso que a lógica -- ou alguma lógica -- é uma maneira precisa de representar o raciocínio matemático. Ciência que tem por objeto o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos.

Sudoku é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante. Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1 a 9. Não há nenhum tipo de matemática envolvida.

Exercício !!
Resolver o Sudoku acima !!! em folha e entregar até dia 11-05 - 2009 (trabalho de dupla ) .

CONJUNTOS

2009-03-30T11:18:00.001-07:00

INICIANDO O ANO DE 2009 EM NOSSO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA INTRODUZIMOS O CONTEÚDO JA ESTUDADO SOBRE CONJUNTOS PARA DESENVOLVERMOS E SEGUIRMOS NOSSO PROJETO ....
BONS ESTUDOS.... RIBAMAR FILHO

Introdução

Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3}

{1, 2, 2, 1, 3, 2}

{x : x é um número inteiro tal que 0<4}

Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.

É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).

Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

União, interseção e diferença

Ver artigo principal: União

A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos e .

A união de N conjuntos é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos .

Ver artigo principal: Interseção

A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e .

A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos de que não pertencem a .

Notação dos conjuntos

Os conjuntos são representados de diversas formas:

A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({});
As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;
Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Exemplos de conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.

Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.
Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto.

Intervalo (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na álgebra elementar, um intervalo é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, e possivelmente os próprios extremos. Os extremos podem ser números reais como podem ser e .

Representação

Uma maneira de representar os intervalos, mais comum é a seguinte:

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes - “[” e “]” - para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses - “(” e “)” - ou, também, os colchetes invertidos - “]” e “[” para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < style="font-weight: bold;">a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x <>

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a <>

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a <>

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x <>

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < b =" {x">

Questões:

1) Qual a importância do Diagrama de Venn-Euler para os conjuntos?

2) Defina o conjunto dos números reais.

3) Qual a importância do estudo do intervalo para solução de conjuntos ?

4) o símbolo +∞ representa o que ?

5) Leia por extensão :

S = {____________________}

2008-12-10T09:48:00.000-08:00

PORCENTAGEM

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal

Trabalhando com Porcentagem
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.
Exemplos:
1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.
3.Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.
4.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?

GRAFICO DE FUNÇÂO Aula 53 e 54

2008-11-24T10:39:00.000-08:00

O gráfico da função definida de em por:

F(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)

É uma curva chamada parábola.

Dependendo do sinal do coeficiente a, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima ( a > 0) ou voltada para baixo (a < style="text-align: right;">

A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.

Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função. Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:

Δ > 0 – A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.

Δ = 0 – A parábola tangencia o eixo Ox.

• Lembre-se de que o gráfico corta o eixo Oy na imagem de 0, isto é, f(0). A ordem desse ponto é o coeficiente c.

F(x) = ax² + bx + c → f(0) = c

1 .Explique o processo para uma função ser crescente .
2. para que serve as coordenadas do vértice?
3. quando o valor de " a " é negativo a função continua sendo crescente? caso contrario explique o processo inverso.
4 . explique quando a variação de sinal do Δ ocorre. ]
quando Δ <> o e Δ = o.

Circunferência !

2008-11-07T12:10:00.000-08:00

A importância da circunferência
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.

Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.

Observações: Em uma circunferência dada, temos que:

A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).

A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.

Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.

Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).

Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).

Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.

Propriedades de arcos e cordas
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Observações

Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.

Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes.

Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos.

Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes.

1º Qual a importância de estudar a circunferência para o dia a dia?
2º uma volta completa na circunferencia em graus corresponde a quanto ?
3º Qual a diferença entre os pontos interiores e exteriores na cincunferência ?
4ºem mediadas de radianos ! 360º corresponde a quanto ?

Continuação ... Polígonos!

2008-10-22T20:06:00.000-07:00

Aula 45 e 46 Polígonos !

2008-10-22T18:18:00.000-07:00

Por que foram inventadas as figuras geométricas?
O homem primitivo desenhava o que sentia e o que via. Eram as chamadas pinturas rupestres, desenhos naturais, livres, que ficaram registrados em muitas cavernas em diversas regiões do mundo. Assim nasceu a chamada arte pictórica. O homem não sabia o que eram triângulos, quadrados ou hexágonos, pelo menos até sentir a necessidade de construí-los, quando passou a viver fora das cavernas. Com esta mudança teve início uma nova e importante atividade: a de construir. Inicialmente rústicas, as construções logo exigiram um aprimoramento nos traços e nas definições. O desenho tornou-se uma ferramenta básica nesse processo, aliada à valorização das formas como elemento de harmonia e beleza. Foi na Grécia que se deu um importante passo na teorização da ciência das formas.

1. Polígonos na vida cotidianaAndando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos.

As linhas poligonais são formadas por segmentos da reta. As que têm suas extremidades livres são linhas poligonais abertas, e as que não têm as extremidades livres são fechadas

Para lembrar:
Polígono é a parte do plano limitada por uma linha poligonal fechada

O contorno do polígono é a linha poligonal fechada que o limita.

Os lados desta figura geométrica são compostos pelos segmentos de reta que formam a linha poligonal. Denominamos vértices do polígono os pontos em que dois lados se unem

Matemática

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
Por que foram inventadas as figuras geométricas?

O homem primitivo desenhava o que sentia e o que via. Eram as chamadas pinturas rupestres, desenhos naturais, livres, que ficaram registrados em muitas cavernas em diversas regiões do mundo. Assim nasceu a chamada arte pictórica. O homem não sabia o que eram triângulos, quadrados ou hexágonos, pelo menos até sentir a necessidade de construí-los, quando passou a viver fora das cavernas. Com esta mudança teve início uma nova e importante atividade: a de construir. Inicialmente rústicas, as construções logo exigiram um aprimoramento nos traços e nas definições. O desenho tornou-se uma ferramenta básica nesse processo, aliada à valorização das formas como elemento de harmonia e beleza. Foi na Grécia que se deu um importante passo na teorização da ciência das formas.
Hoje em dia os materiais usados na construção de pontes pênseis ou de tirantes adotam formas poligonais, que dão segurança e modernidade à sua estrutura1.

Polígonos na vida cotidianaAndando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos.
2. Elementos e classificaçãoAs linhas poligonais são formadas por segmentos da reta. As que têm suas extremidades livres são linhas poligonais abertas, e as que não têm as extremidades livres são fechadas (Figura 1).
Figura 1
Para lembrar:
Polígono é a parte do plano limitada por uma linha poligonal fechada.
Observe que o interior da linha poligonal ABCD (Figura 2) está colorido: esta linha e seu interior formam um polígono.

O contorno do polígono é a linha poligonal fechada que o limita.

Os lados desta figura geométrica são compostos pelos segmentos de reta que formam a linha poligonal. Denominamos vértices do polígono os pontos em que dois lados se unem.

Os ângulos do polígono são os ângulos internos formados pelos lados do polígono.
As diagonais de um polígono são os segmentos que unem dois vértices não consecutivos.

Se traçarmos diagonais em um polígono, podemos decompô-lo em triângulos.
Os polígonos podem ser classificados segundo o número de lados que tiverem.

Com 3 lados serão triângulos.
•
Com 4 lados serão quadriláteros.
•
Com 5 lados serão pentágonos.
•
Com 6 lados serão hexágonos.
•
Com 7 lados serão heptágonos.
•
Com 8 lados serão octógonos.
•
Com 9 lados serão eneágonos.
•
Com 10 lados serão decágonos.
•
Com 12 lados serão dodecágonos.
•
Com 20 lados serão icoságonos.

Os polígonos também são classificados segundo seus ângulos. Se uma figura tiver todos os seus ângulos convexos, isto é, menores que 180°, será um polígono convexo. Se tiver pelo menos um ângulo côncavo, maior que 180°, será um polígono côncavo.

1. Indique alguns poligonos usados em sua vida cotidiana.

2. Num quadrilátero ABCD, Â = 90°, = 80° e = 70°. Quanto mede o ângulo ?

3. Qual o polígono de menor número de lados?

4.Indicar como deve ser um paralelogramo para que seja um quadrado.

5. Qual a diferença do quadrado e do losango

Pérolas de Matemática !! muito Engaçado ! VEJAM !!!

2008-10-22T17:57:00.001-07:00

Que meus alunos nao cheguem a fazer isso !!!!!!

15 /10 Dia Especial na Educaçao ! Parabéns Professores Polivalente!

2008-10-15T16:16:00.000-07:00

Ninguém nega o valor da educação e que um bom professor é imprescindível. Mas, ainda que desejem bons professores para seus filhos, poucos pais desejam que seus filhos sejam professores. Isso nos mostra o reconhecimento que o trabalho de educar é duro, difícil e necessário, mas que permitimos que esses profissionais continuem sendo desvalorizados. Apesar de mal remunerados, com baixo prestígio social e responsabilizados pelo fracasso da educação, grande parte resiste e continua apaixonada pelo seu trabalho.

A data é um convite para que todos, pais, alunos, sociedade, repensemos nossos papéis e nossas atitudes, pois com elas demonstramos o compromisso com a educação que queremos. Aos professores, fica o convite para que não descuidem de sua missão de educar, nem desanimem diante dos desafios, nem deixem de educar as pessoas para serem “águias” e não apenas “galinhas”. Pois, se a educação sozinha não transforma a sociedade, sem ela, tampouco, a sociedade muda.
(Paulo Freire).

AULA 41 e 42 APOSTILA 03 FUNÇÃO DO 2º GRAU

2008-10-14T10:48:00.000-07:00

1) DIFERENCIE VALOR MAXIMO E MININO NA FUNÇÃO.

2) O QUE SÃO AS COORDENASDAS DO VERTICE?

3) O QUE SIGNIFICA VÉRTICE DA FUNÇAO?

4) COMO CALCULAR OS VÉRTICES DA FUNÇÃO ?
5) EXPLLIQUE PORQUE NA FUNÇAO DE SEGUNDO GRAU O VALOR DE a TEM QUE SER DIFERENTE DE ZERO.

Alunos do Projeto Matemáticamente Digital

2008-10-06T10:46:00.000-07:00

2008-10-06T10:40:00.000-07:00

Avaliações do 1º A, B, C e D .

2008-10-05T05:17:00.000-07:00

NOTAS GERAIS DOS ALUNOS DO POLIVALENTE DA SALA 1ºA, B, C e D. TURNO MANHÃ .

ESTOU SATISFEITO COM O DESEMPENHO DAS SALAS. PARABÉNS !

Clique aqui e baixe o arquivo.

Aula 36 Funçao do Primeiro Grau!

2008-09-29T09:04:00.000-07:00

Função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a R* e b R. Veja alguns exemplos de Função afim. f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1 f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1 f(x) = x ; a = 1 e b = 0 f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5 2 2 Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 pode ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x. Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja: x = -2 x = - 1 x = 0 y = 2 . (-2) – 3 y = 2 . (-1) – 3 y = 2 . 0 - 3 y = - 4 – 3 y = -2 – 3 y = -3 y = - 7 y = - 5 x = 1 y = 2 . 1 – 3 y = 2 – 3 y = -1

Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

1 - Quais as classificaçoes de uma função de primeiro grau ? diferencie elas com suas palavras.

2 - qual a equação geral que formaliza uma função do primeiro grau ?

3 - Diferencie, Dominio, Contra Domínio e Imagem.

4 - Defina e exemplifique uma funçao de primeiro grau completa e incompleta.

5 - Como você ultiliza a função de primeiro grau no dia à dia ? (pode exemplificar uma situação).

Aulas 30 e 31 - Pitágoras

2008-09-25T12:30:00.000-07:00

Pitágoras nasceu em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso na Grécia e provavelmente recebeu instrução matemática e filosófica de Tales e de seus discípulos. Após viver algum tempo entre jônicos, viajou pelo Egito e Babilônia - possivelmente indo até a Índia. Durante suas peregrinações, ele absorveu não só informações matemáticas e astronômicas como também muitas idéias religiosas. Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia (na costa sudoeste da atual Itália), onde fundou a Escola Pitagórica dedicada a estudos religiosos, científicos e filosóficos. À Pitágoras são atribuídas várias descobertas sobre as propriedades dos números inteiros, a construção de figuras geométricas e a demonstração do teorema que leva seu nome (cujo enunciado já era conhecido pelos babilônios). Os próprios termos Filosofia (amor a sabedoria) e Matemática (o que é aprendido) seriam criações de Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais.

Os membros da Escola Pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que constituíram as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária de uma pessoa bem educada. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e a transformaram em uma atividade puramente intelectual.

Na filosofia pitagórica afirmava-se que Tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos, a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por um intervalo. Esta idéia provinha do estudo dos números naturais, quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas, tendo por base um segmento fixado como unitário. Mas eles notaram que a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade é igual a e que este número é incomensurável (hoje chamamos de números irracionais esses números). Esta descoberta foi recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois em certo sentido contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade.

No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa), descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo , etc.. Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior.

Entre as descobertas sobre a matemática atribuídas aos pitagóricos podemos citar:

a classificação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares, amigos, perfeitos e figurados;
o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum;
que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos;
se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n - 4) ângulos retos;

Também desenvolveram métodos geométricos para demonstrar diversas identidades algébricas e estudaram os sólidos regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro.

O símbolo que representava os pitagóricos era o pentagrama ou pentágono estrelado, isto devido às propriedades desta figura, pois ao desenharmos um pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e formam um novo pentágono interior ao anterior. A interseção de duas diagonais divide a diagonal de uma forma especial chamada pelos gregos de divisão em média e extrema razão e que conhecemos também como secção áurea.

1 - Sobre a história de Pitágoras. Qual a importancia dele no estudo da Geometria?
2- qual a relaçao dos teoremas pitagoricos com a musica ?
3 - Explique o que significa Quadrivum.
4 - qual a relaçao dos métodos pitagóricos e os ângulos internos de um polígono?
5 - o que vc entendeu sobre concepção cosmogônica ?

Semelhança de Triangulos Aula 28 e 29 ap.02

2008-09-15T20:14:00.000-07:00

Definição de Semelhança entre Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

Propriedades:
a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.
b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.
c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
A demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser demonstrado a partir dos critérios de semelhança .
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra.

Pelo Teorema de Tales temos que:

m(AD)/m(AB) = m(AE)/m(AC) [1]

Por E construímos a reta EF paralela a BD, conforme indicado na figura acima. Do paralelogramo BDEF temos que m(DE) = m(BF). E, novamente, pelo Teorema de Tales:

m(AE)/m(AC) = m(BF)/m(BC) => m(AE)/m(AC) = m(DE)/m(BC) [2]

De [1] e [2] vem que os lados homólogos são proporcionais, o que conclui a demonstração.

Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notação correta conforme indicado anteriormente.

1. O que vc compreendeu entre triangulos semelhantes ?
2. Discuta um pouco sobre simetria de triângulos, reflexão de triângulos e triângulo transitivo
3. existe diferença entre triângulo semelhante e triângulos conguentes? justifique sua esposta.

Relações Angulares no Triângulo - Aula 26 e 27 ap. 02

2008-09-15T19:38:00.000-07:00

Geometria e Cultura
Rosa M. Mazo Reis*

Um passeio na história

As primeiras considerações humanas a respeito da Geometria originaram-se da necessidade de "medir a terra". As atividades incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos. Quando o homem sai das cavernas e começa a ter que construir sua morada, os conceitos de verticalidade, horizontalidade e paralelismo, entre outros, estão presentes.
As antigas civilizações de beira-rio (Nilo, Tigre, Eufrates, Ganges, Indo) desenvolveram uma habilidade em engenharia na drenagem de pântanos, na irrigação, na defesa contra inundação, na construção de templos e edifícios. Utilizavam uma Geometria prática.
Observamos, também, diversos outros momentos em que a Geometria foi empregada pelos povos considerados primitivos: na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites e na criação de desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade, aparecem em cerâmicas, cestarias, e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados e círculos, além de outras mais complexas.
Tanto as "tábulas" de argila dos babilônios, quanto os papiros registram atividades do homem no campo da Geometria. Acredita-se datarem do ano 3000 a. C., época dos sumérios, as "tábulas" mais antigas descobertas. E os papiros de 1850 a. C. contêm textos matemáticos com problemas, vinte e seis deles de Geometria.
Isso sem falar na pirâmide de Giseh, que demonstra que os egípcios em 2900 a. C. possuíam conhecimentos geométricos para construí-la. A precisão do alinhamento, da medição e dos ângulos retos é impressionante, qualquer que sejam os critérios aplicados.
Se já se fazia Geometria há tanto tempo, por que só ouvimos falar do conhecimento geométrico a partir dos gregos? Porque coube aos gregos o estabelecimento de um sistema de regras organizado não apenas por procedimentos empíricos.
Depois de mais de um milênio do provável início da Geometria na Grécia, Proclus relata o desenvolvimento desta Geometria grega desde Tales de Mileto. Tales morou no Egito e trouxe a Geometria para a Grécia. Ele aplicou os argumentos dedutivos da Filosofia à Geometria.
Proclus escreveu o Sumário eudemiano. Depois de Tales, ele fala de Pitágoras, que parece ter feito percurso semelhante a Tales, e talvez tenha mesmo sido seu discípulo. Pitágoras, entre outros estudos, enunciou um dos teoremas mais importantes.
"O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos."
Como dissemos antes, nas pirâmides e em outras construções já se podia observar essa relação, mas foi com os gregos que ela foi formalizada da maneira que é ensinada hoje.
Os babilônios, mais de mil anos antes de Pitágoras, estudaram e descobriram a relação da diagonal de um quadrado com a medida do lado do mesmo. Prova suficiente que conheciam o teorema associado a Pitágoras.
A tábula de argila Plimpton 322 contém colunas de algarismos relacionados com os ternos pitagóricos (o quadrado do maior dos três números é igual à soma dos quadrados dos outros dois).
Os egípcios, já em 2000 a. C., conheciam a relação 42 + 32 = 52, mas não podemos afirmar que demonstrassem a propriedade do ângulo reto da figura envolvida nesta relação.
Os Sulvasutras (500 a. C.) fornecem regras da Matemática hindu a serem seguidas para obedecer a certas proporções em altares. Tais regras são aplicações do teorema de Pitágoras e demonstram um conhecimento do mesmo.
Padrões que apresentam uma simetria rotacional de 90 graus ocorrem freqüentemente na decoração africana, como relata Paulus Gerdes na sua obra, Pitágoras africano.
Hoje, também a cultura influi no fazer Geometria.
Percorrendo a história da Humanidade, temos contato com diferentes culturas. De certa maneira, a agricultura, a pecuária e o artesanato caracterizam esta diversidade cultural. A forma encontra-se presente nas criações do homem para aproveitar ou conviver com as peculiaridades de cada região, e manifesta-se na maneira de trabalhar com a terra, de produzir utensílios e ornamentos. Se entendermos Geometria como estudo da forma, cada região tem um vasto campo a ser estudado. Este estudo resgataria as raízes étnicas e culturais. O aprendiz envolvido neste processo sente-se enraizado e aumenta sua auto-estima.
Esta metodologia, chamada por uns de Modelagem Matemática e por outros de Etnomatemática, permite uma livre interpretação, uma aprendizagem através do erro, uma observação de padrões e posterior generalização e, ainda, um resgate da cultura na qual o aprendiz encontra-se inserido.

1º De acordo com seus conhecimentos o que você entendeu sobre Sumário Eudemiano?

2º Comente sobre a relação que Tales beneficiou no estudo da geometria.

3º Explique o conceiro de Geometria Demonstrativa de acordo com Tales.

4º De acordo com o que foi estudado na aula 26 e 27 diferencie os ângulos correspondentes e ângulos alterno.

5º Quais as condiçoes para que um triângulo seja Equilátero ? e quanto será os valores de seus ângulos ?

Os elementos de Euclides de acordo com a aula 24 e 25 da apostila 02

2008-09-15T09:00:00.000-07:00

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados: 1. Dados dois pontos, há um segmento de recta que os une; 2. Um segmento de recta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma recta; 3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; 4. Todos os ângulos rectos são iguais; 5. Se uma linha recta cortar duas outras rectas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois rectos, então essas duas rectas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos (É este o célebre 5º Postulado de Euclides)
Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de recta e o de círculo - e cinco postulados a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana

1° A sua definição de Geometria é :

2º O que é pensamento Geométrico?

3º O que você entende pela Arte Rupestre?

4º Com suas palavras, defina, interprete e exemplique a Geometria Criativa.

5º Classifique os triângulos e defina-os.

6º Com suas palavras comente sobre a Geometria euclediana.

7º Com relação as figuras geométricas como você definiria as palavras. Vértice, ângulo, bissetriz, incentro, baricentro e ortocentro.

O projeto Primeiro Aprender !!!

2008-09-15T08:18:00.000-07:00

A Secretaria da Educação preocupada com o déficit na aprendizagem dos alunos, idealizou uma intervenção pedagógica coletiva.

Com isso idealizaremos nossas aulas através das aulas oferecidas pelo projeto com a ajuda tambem de nossas tecnologias oferecidas em nossa escola !

BEM VINDO ALUNOS DO POLIVALENTE

2008-09-15T08:11:00.000-07:00

Estamos aqui para iniciar uma nova etapa em nossas aulas !! estaremos disponibilizando nosso blog para compartilharmos aprendizado. Vamos criar situaçoes e desafios para trabalharmos nossos conhecimentos visto em sala de aula !! vamos fazer a diferença !!

Ribamar Bringel Filho