Os números Irracionais

Os números irracionais são números que não se podem exprimir como uma razão (isto é, um quociente, uma fracção) de números inteiros. São… incalculáveis e incomensuráveis. Por isso também lhe chamaram números “mudos”, números“cegos”, números “surdos”, ou ainda números que “perderam a razão”…



A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está ligada com dados de geométricos que se podem concretizar no problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparada com o seu lado:


Teorema de Pitágoras:

" A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipótenusa "



Dado um quadrado de lado igual à unidade,

quanto mede a diagonal?



Neste quadrado, de lado 1, verificamos que a diagonal d² = 1² + 1² = 2, então teremos que o comprimento da diagonal é dado pela √2.

Foi a tentar resolver este problema usando o Teorema de Pitágoras que os gregos descobriram um "novo" número: o número √2.

O Teorema de Pitágoras provocou, assim, a descoberta de novos números: os irracionais. Representam um marco importante para o pensamento humano, mas foi muito perturbadora para os pitagóricos. De tal maneira, que quiseram manter secreta esta descoberta.

A raiz quadrada de 2 é portanto um dos números irracionais mais célebres. Se tentarmos calculá-la vemos logo que deve ser 1 e …. Qualquer coisa. Mas a “qualquer coisa” é que é o problema! Alguns matemáticos antigos iam perdendo também a razão a tentar descobrir essa “qualquer coisa”! O mais que apuraram, pobres deles, foi 17/12, que é 1 mais “qualquer coisa” (1 é, como sabes, 12/12). Mas o quadrado de 17/12 é 289/144… E que 2 é… 288/144!

Era “quase”!

Os números irracionais são números que são quase exprimíveis como um quociente de números inteiros… Mas a que falta sempre o “quase”!

Assim,

Um número será irracional quando não se pode traduzir por uma fracção do tipo a/b. Dito de outra maneira: Um número diz-se irracional quando não pode exprimir-se por uma dízima finita ou infinita periódica. (Uma dízima será infinita periódica quando existir um conjunto de algarismos que se repete. Exemplo: 1,23452345... que muitas vezes se escreve 1,(2345). O período é o conjunto desses algarismos que se repetem, no nosso exemplo o período é 2345)



Curiosidade

O resultado d cálculo de √2 com algumas(250 ! ! !) casas decimais:
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797 379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248 360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011 527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986 095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463...


Um irracional famoso

Talvez o mais famoso número irracional seja o PI ( ), o quociente entre o perímetro e o diâmetro de um círculo. As calculadoras científicas têm uma tecla para acesso directo a um valor aproximado de com dez, ou mais, dígitos. Por vezes, quando se calcula o perímetro ou uma área de um círculo utiliza‑se como valor aproximado de 3,14... mas actualmente ele já foi calculado com milhões de casas decimais

EXERCICIO:
1 - DE ACORROO COM OS NÚMEROS IRRACIONAIS PESQUISE SOBRE A ORIGEM DO SIMBOLO PI E PUBLIQUE EM SEU COMENTÁRIO !
2 - QUAL A PRINCIPAL DIFERENÇA ENTRE O CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS DO CONJUNTO DOS NUMEROS IRRACIONAIS!
3 - IDENTIFIQUE AS PRINCIPAIS PREMISSAS DO TEXTO ACIMA !

Aula 01 02 03 04 Matemática

Lógica matemática

Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático-- ou, como propõe Alonzo Church (*Introduction to Mathematical Logic* (Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1956; décima edição, 1996), 'lógica tratada pelo método matemático'. No início do século XX, lógicos e filósofos tentaram provar que a matemática, ou parte da matemática, poderia ser reduzida à lógica.(Gottlob Frege, p.ex., tentou reduzir a aritmética à lógica; Bertrand Russell e A. N. Whitehead, tentaram reduzir toda a matemática então conhecida à lógica -- a chamada 'lógica de segunda ordem'.) Uma das suas doutrinas lógico-semânticas era que a descoberta da forma lógica de uma frase, na verdade, revela a forma adequada de dizê-la, ou revela alguma essência previamente escondida. Há um certo consenso que a redução falhou -- ou que precisaria de ajustes --, assim como há um certo consenso que a lógica -- ou alguma lógica -- é uma maneira precisa de representar o raciocínio matemático. Ciência que tem por objeto o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos.

Sudoku é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante. Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1 a 9. Não há nenhum tipo de matemática envolvida.

Exercício !!
Resolver o Sudoku acima !!! em folha e entregar até dia 11-05 - 2009 (trabalho de dupla ) .

CONJUNTOS

INICIANDO O ANO DE 2009 EM NOSSO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA INTRODUZIMOS O CONTEÚDO JA ESTUDADO SOBRE CONJUNTOS PARA DESENVOLVERMOS E SEGUIRMOS NOSSO PROJETO ....
BONS ESTUDOS.... RIBAMAR FILHO

Introdução

Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3}

{1, 2, 2, 1, 3, 2}

{x : x é um número inteiro tal que 0<4}

Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.

É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).

Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

União, interseção e diferença

Ver artigo principal: União

A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos e .

A união de N conjuntos é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos .

Ver artigo principal: Interseção

A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e .

A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos de que não pertencem a .

Notação dos conjuntos

Os conjuntos são representados de diversas formas:

• A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({});
• As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;
• Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Exemplos de conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.

1. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.
2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto.

Intervalo (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na álgebra elementar, um intervalo é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, e possivelmente os próprios extremos. Os extremos podem ser números reais como podem ser e .

Representação

Uma maneira de representar os intervalos, mais comum é a seguinte:

• 
• 
• 
• 

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes - “[” e “]” - para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses - “(” e “)” - ou, também, os colchetes invertidos - “]” e “[” para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < style="font-weight: bold;">a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x <>

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a <>

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a <>

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x <>

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < b =" {x">

Questões:

1) Qual a importância do Diagrama de Venn-Euler para os conjuntos?

2) Defina o conjunto dos números reais.

3) Qual a importância do estudo do intervalo para solução de conjuntos ?

4) o símbolo +∞ representa o que ?

5) Leia por extensão :

S = {____________________}

PORCENTAGEM

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal

Trabalhando com Porcentagem
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.
Exemplos:
1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.
3.Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.
4.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?

GRAFICO DE FUNÇÂO Aula 53 e 54

O gráfico da função definida de em por:

F(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)

É uma curva chamada parábola.

Dependendo do sinal do coeficiente a, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima ( a > 0) ou voltada para baixo (a < style="text-align: right;">





A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.

Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função. Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:

Δ > 0 – A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.

Δ = 0 – A parábola tangencia o eixo Ox.






• Lembre-se de que o gráfico corta o eixo Oy na imagem de 0, isto é, f(0). A ordem desse ponto é o coeficiente c.

F(x) = ax² + bx + c → f(0) = c














1 .Explique o processo para uma função ser crescente .
2. para que serve as coordenadas do vértice?
3. quando o valor de " a " é negativo a função continua sendo crescente? caso contrario explique o processo inverso.
4 . explique quando a variação de sinal do Δ ocorre. ]
quando Δ <> o e Δ = o.

Circunferência !

A importância da circunferência
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.



Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.



Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.



Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.



Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.



Observações: Em uma circunferência dada, temos que:

A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).


A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.

Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.

Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).


Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).


Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.


Propriedades de arcos e cordas
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.




Observações

Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.


Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes.

Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos.

Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes.


1º Qual a importância de estudar a circunferência para o dia a dia?
2º uma volta completa na circunferencia em graus corresponde a quanto ?
3º Qual a diferença entre os pontos interiores e exteriores na cincunferência ?
4ºem mediadas de radianos ! 360º corresponde a quanto ?

Continuação ... Polígonos!