Quadrilátero

Quadrilátero

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Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°.

Classificação de quadriláteros

Os quadriláteros podem ser considerados Trapézios ou Não Trapézios. O seguinte esquema ilustra a classificação dos diferentes tipos de quadriláteros.

Diagonais

Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de recta que unem dois vértices opostos. Em certos quadriláteros elas tem as mesmas medidas. É o caso do quadrado.

[editar]Trapézios

Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exactamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.

Tipos de trapézios.

[editar]Tipos de Trapézios

• Trapézio Isósceles: Os lados opostos não paralelos são de mesmo comprimentos, os lados opostos paralelos não são congruentes, e apresenta um eixo de simetria;
• Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°,e não tem um eixo de simetria;
• Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes.

[editar]Paralelogramos

Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelogramo. Um paralelogramo apresenta as seguintes características:

• A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
• As diagonais cortam-se no ponto médio;
• Os lados opostos são congruentes;
• Os ângulos opostos são congruentes.

Tipos de Paralelogramos.

[editar]Tipos de Paralelogramos

• Paralelogramo Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
• Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si; As diagonais são congruentes.
• Losango: Todos os lados são iguais entre si; As diagonais são perpendiculares.
• Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. Por ser um losango e um quadrado simultaneamente, as diagonais são congruentes e perpendiculares.
• Exercício:
• 1 . Como diferenciar um quadrilátero Trapézio e um não trapézio?
• 2. Quais os tipos de trapézio?
• 3. Quais os tipos de paralelogramos e diferencie -os.
• 4. Descreva o nome dos polígonos de:
• 9 lados
• 11 lados
• 20 lados
• 22 lados
• 30 lados
• 10 lados
• 
  

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo: • 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.• 3a3 + 5a – 1 = 0 → 3a3 + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a3. Portanto, a equação é de 3º grau.• 2y2 + 5 = 0 → 2y2 + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y2. Portanto, a equação é do segundo grau. Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral: ax2 + bx + c = 0 onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b e c deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a R* e b e c R. Veja alguns exemplos de Função afim: f(x) = x2 + 2x +1 ; a = 1 , b = 2 , c = 1 (Completa) f(x) = 2x2 – 2x ; a = 2 , b = - 2 , c = 0 (Incompleta) f(x) = - x2 ; a = -1 , b = 0 , b = 0 (Incompleta) Toda função a do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. A função do 2º grau f(x) = x2 + 2x - 1 pode ser representada por y = x2 + 2x - 1. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.



Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente a. Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola. Sendo f(x) = ax2 +bx + c, a ≠ 0, vamos denotar o valor máximo de f(x) por f(x)máx e o valor mínimo por f(x)min. Em resumo, temos:

Note que o máximo ou mínimo da função f(x) = ax2 + bx +c são ambos dados por e ambos ocorrem para x = . Veja, nestes exemplos, a análise do máximo ou mínimo de funções de 2º grau. a) f(x) = 2x2 – 8x + 3 Como a>0, f(x) admite um valor mínimo. Calculando Δ, temos: Δ = (-8) 2 – 4 . 2 . 3 → Δ = 40 Assim,
f(x)min = → f(x)min = -5 O valor de x para o qual f(x) é mínimo é dado por x = → x =2 Em resumo, para x = 2, a função f(x) = 2x2 – 8x + 3 assume o seu valor mínimo que é -5 b) g(x) = -x2 – 6x + 11 Como a < x =" →" x =" -2" x =" →" x =" 3">

1) DIFERENCIE VALOR MAXIMO E MININO NA FUNÇÃO.

2) O QUE SÃO AS COORDENASDAS DO VERTICE?

3) O QUE SIGNIFICA VÉRTICE DA FUNÇAO?

4) COMO CALCULAR OS VÉRTICES DA FUNÇÃO ?
5) EXPLLIQUE PORQUE NA FUNÇAO DE SEGUNDO GRAU O VALOR DE a TEM QUE SER DIFERENTE DE ZERO.

FUNÇÃO (INTRODUÇÃO)

Uma função é uma aplicação entre conjuntos. As funções descrevem fenómenos numéricos e podem representar-se através de gráficos sobre eixos cartesianos. O gráfico de uma função permite ver, muito facilmente, toda a sua evolução. Porém, por vezes, pode ser mais cómodo trabalhar com a equação ou fórmula da função, já que com ela temos à nossa disposição o conjunto de operações que devemos aplicar à variável independente, normalmente representada por x, para obter a variável dependente, normalmente representada por y. Podemos imaginar que uma função é uma máquina em que introduzimos um número x do conjunto de partida, dela saindo o número f(x).

Uma função é uma aplicação entre conjuntos numéricos. Para indicar que entre dois conjuntos A e B há uma função utilizaremos a notação:
f : A----- B
Existem várias formas de expressar uma função:
y = ax + b
f (x) = ax + b
entre outras.
Se f for uma função e f(x) = y, diremos que y é a imagem de x pela função e que x é o original, anti-imagem ou objecto de y pela função.
Em toda a função entre dois conjuntos A B os elementos do conjunto A recebem o nome de variável da função.
Exemplificando, tomemos a função:
f : N ------Z
f(x) = 5x + 2
f (2) = 5 * 2+2 = 12, 2 N
diremos que 12 é a imagem de 2, e que 2 é o objecto ou anti-imagem de 12.

Funções Reais de Variável Real
Uma função real de variável real é uma função em que tanto os elementos do conjunto de partida ou conjunto dos objectos como os do conjunto de chegada ou conjunto imagem são números reais, isto é, pertencem ao conjunto R, e representa-se por:
f : R---------- R
As funções f(x) = x + 3, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = 3x + 1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se dermos a x um valor real, ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x).
Pode acontecer que nem todos os números reais tenham imagem pela função. O conjunto formado pelos números reais que têm imagem chama-se domínio. Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão:
f : A -----R
sendo A um subconjunto de R, que irá corresponder ao domínio da função.

Função de 1º grau

Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0.

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

1 - Quais as classificações de uma função de primeiro grau ? diferencie elas com suas palavras.
2 - Qual a equação geral que formaliza uma função do primeiro grau ?
3 - Diferencie, Dominio, Contra Domínio e Imagem.
4 - Defina e exemplifique uma função de primeiro grau completa e incompleta.
5 - Como você ultiliza a função de primeiro grau no dia à dia ? (pode exemplificar uma situação).

obs: relembrando que esta atividade será em dupla !! contando tambem para as avaliações do terceiro bimestre.

Introdução a Geometria

A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o Homem teve de medir terrenos.Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo so- bre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo.As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e Babilônica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria.Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilônia à China, passando pela civilização Hindu. Os Babi- lônicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e co- mércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo.A Geometria como ciência dedutiva apenas tem início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predeces- sores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudoxio (408 - 355 a.C.).Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides.Euclides (323 - 285 a.C.) deu um grande contributo para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um méto- do de demonstração rigorosa só muito recentemente superado.

ORIGEM DO DESENHO GEOMÉTRICO

“É possível inclusive que, a partir desta evolução nas relações do homem e da fau- na, nascera, há 60.000 anos, uma arte tão direta, tão inspirada, tão pujante, que con-servou sua imortal juventude.“Não foi nada explosivo. A mão tentou desenhar os traços, movida por um pensa- mento nascente que logrou progressivamente sua regulação, que acumulou experi- ência e que fecundou a imaginação. E é impossível não evocar- tão grande é a continuidade de nossa espécie desde suas origens selvagens- nesses traços gravados no osso, nesses traços curvos e titubeantes, os riscosque traçavam, não há muito, os meninos, como elementos precursores da escrita.” Pierre-Paul Grassé, in La vie des animaux, referindo-se à evolução do homem e ao surgimento da arte de desenhar (pintura pré-histórica encontrada na gruta de Lascaux, França).Como linguagem de comunicação e expressão, a arte do desenho antecede em muito a da escrita. O que é a escrita se não a combinação de pequenos símbolos desenhados? Através de gravuras traçadas nas paredes das cavernas, o homem pré-histórico registrou fatos relacionados com o seu cotidiano, deixando indicado- res importantes para os pesquisadores modernos estudarem os ancestrais de nos- sa espécie. Enfim, a arte do desenho é algo inerente ao homem.Não se sabe quando, ou onde, alguém formulou pela primeira vez, em forma de de- senho, um problema que pretendia resolver – talvez tivesse sido um “projeto” de mo- radia ou templo, ou algo semelhante. Mas esse passo representou um avanço fun- damental na capacidade de raciocínio abstrato, pois esse desenho representava algo que ainda não existia, que ainda viria a se concretizar. Essa ferramenta, grada- tivamente aprimorada, foi muito importante para o desenvolvimento de civilizações, como a dos babilônicos e a dos egípcios, as quais, como sabemos, realizaram ver- dadeiras façanhas arquitetônicas.Porém, uma outra civilização, que não hesitava em absorver elementos de outras culturas, aprendeu depressa como passar à frente de seus predecessores; em tudo que tocavam, davam mais vida. Eram os gregos. Em todas as áreas do pensamen- to humano em que se propuseram a trabalhar realizaram feitos que marcaram defi- nitivamente a história da humanidade.Foram os gregos que deram um molde dedutivo à Matemática. A obra Elementos, de Euclides (?300 a.C.), é um marco de valor inestimável, na qual a Geometria é desenvolvida de modo bastante elaborado. É na Geometria grega que nasce o De- senho Geométrico que aqui vamos estudar.Na realidade, não havia entre os gregos um diferenciação entre Desenho Geomé- trico e Geometria. O primeiro aparecia simplesmente na forma de problemas de construções geométricas, após a exposição de um item teórico dos textos de Geo- metria. Essa conduta euclidiana é seguida até hoje em países como a França, Suí- ça, Espanha, etc., mas, infelizmente, os problemas de construção foram há muitos banidos dos nossos livros de Geometria.Assim, pode-se dizer que o Desenho Geométrico é um capítulo da Geometria que, com o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, se propõe a resolver graficamente problemas de natureza teórica e prática.
Para quem serve o desenho geométrico?
A resolução de um problema de construção geométrica, de um modo geral compreende duas etapas:a pesquisa das propriedades e da seqüência de operações que possibilitam realizar a construção;
a execução de construção pedida, servindo-se dos instrumentos de desenho.Pois bem, na primeira etapa lidamos, de forma teórica, com os elementos da Geometria, exigindo-se dos estudantes muito empenho. O estudo do dese- nho, nessa fase, dará oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico- dedu- tivo, além de despertar a criatividade. Independentemente da área a que vá se dedicar futuramente como profissional, o estudante terá aí um elemento funda- mental na sua formação.Na segunda etapa, quando se manuseiam os instrumentos, desenvolve-se grandemente o sentido de organização; com freqüência, o estudante então experimenta a sensação de realização, ao ver se concretizarem, no papel, as idéias que possibilitaram a construção. Especificamente os que pretendem orientar seus estudos para as áreas de Engenharia ou Arquitetura terão no Desenho Geométrico o instrumental ne- cessário ao Desenho Projetivo, que, por sua vez, será muito utilizado nessas profissões.

Geometria, parte da matemática que estuda as propriedades do espaço. Em sua forma mais elementar, a geometria trata de problemas métricos, como o cálculo da área e do diâmetro de figuras planas e da superfície e volume de corpos sólidos. Outros campos da geometria são a geometria analítica, a descritiva, a topologia, a geometria de espaços com quatro ou mais dimensões, a geometria fractal e a geo- metria não-euclidiana.
Geometria descritiva primitiva Pitágoras e seus discípulos usaram certos axiomas ou postulados e a partir deles deduziram um conjunto de teoremas sobre as propriedades de pontos, linhas, ângu- los e planos, como o famoso teorema de Pitágoras. A obra Elementos, de Euclides, serviu como livro de texto básico de geometria quase até os nossos dias.
Primeiros problemas geométricos Os gregos introduziram os problemas de construção, nos quais certa linha ou figura deve ser construída usando-se apenas uma régua de borda reta e um compasso. Há três famosos problemas de construção que datam da época grega: a duplicação do cubo (construir um cubo cujo volume seja o dobro do de outro cubo preexistente), a quadratura do círculo (construir um quadrado com área igual à de determinado cír- culo) e a trissecção do ângulo (dividir um ângulo em três partes iguais). Nenhuma destas construções é possível usando-se apenas régua e compasso.Os gregos, principalmente Apolônio de Perga, estudaram a família de curvas conhe- cidas como cônicas e descobriram muitas de suas propriedades fundamentais. Arquimedes inventou formas de medir a área de certas figuras curvas, assim como a superfície e o volume de sólidos limitados por superfícies curvas.
Geometria analítica A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637, forjou uma conexão entre a geometria e a álgebra, ao demonstrar como aplicar os métodos de uma disciplina na outra. Este é um funda- mento da geometria analítica, na qual representam-se as figuras através de expres- sões algébricas.
Avanços modernos A geometria sofreu uma mudança radical de direção no século XIX. Gauss, Lobat- chevsky e János Bolyai, trabalhando em separado, desenvolveram sistemas coe- rentes de geometria não-euclidiana.Quase ao mesmo tempo, o britânico Arthur Cayley desenvolveu a geometria para espaços com mais de três dimensões. Outro conceito dimensional, o de dimensões fracionárias, surgiu no século XIX."Geometria",

texto retirado da:

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Introdução à Geometria Euclidiana

Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.

Questões:

1. qual a importância da Geometria na vida sua vida cotidiana ?

2. Qual a importância de Euclides para a Geometria?

3. Resuma em 4 linha o texto acima.

4. Retrate a origem e a importância das pirâmides para a Geometria.

5. Comente sobre a Geometria Euclediana. (min 3 linhas)

As Ciências chamadas Exatas (a Física, a Química, a Astronomia, etc.) baseiam-se na "medição",
sendo esta sua característica fundamental.

Em outras Ciências, ao contrário, o principal é a descrição e a classificação. Assim, a Zoologia
descreve e classifica os animais, estabelecendo categorias de separação entre os seres vivos
existentes.

Todos temos uma certa noção do que é medir e o que é uma medida.

O dono de uma quitanda não pode realizar seus negócios se não mede; com uma balança mede a
quantidade de farinha ou de feijão pedida. Um lojista, com o metro, mede a quantidade de fazenda que
lhe solicitaram. Em uma fábrica mede-se com o relógio, o tempo que os operários trabalham.

Há diferentes coisas que podem ser medidas; o dono da quitanda mede "pesos", o lojista
"comprimentos", a fábrica "tempos". Também podem ser medidos volumes, áreas, temperaturas, etc.

Tudo aquilo que pode ser medido chama-se "grandeza", assim, o peso, o comprimento, o tempo, o
volume, a área, a temperatura, são "grandezas". Ao contrário, visto que não podem ser medidas, não são grandezas a Verdade ou a Alegria.

Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como "unidade".

Careceria de sentido tentar medir uma quantidade de uma grandeza com uma unidade de outra
grandeza. Ninguém, mesmo que esteja louco, pretenderá medir a extensão de um terreno em
quilogramas, ou o comprimento de uma rua em litros.

A Física não trabalha com números abstratos. O fundamental é medir e o resultado da medição é um número e o nome da unidade que se empregou. Assim, pois, cada quantidade fica expressa por uma parte numérica e outra literal. Exemplos: 10 km; 30 km/h; 8h.

Opera-se com as unidades como se fossem números; assim:

As Grandezas comprimento, área e volume

Comprimento:

A unidade de comprimento é o metro (m), o qual pode ser dividido em 100 centímetros (cm) ou 1000 milímetros (mm). O múltiplo do metro mais usado é o quilômetro (km), que vale 1000 m.


Área
A unidade de área é o metro-quadrado (m2). Muitas vezes se faz confusão nas medidas de área, pois um quadrado com 10 unidades de comprimento de lado contém 10 x 10 = 100 unidades de área .

Assim 1cm = 10mm, entretanto, 1cm2 = 100mm2. Da mesma forma:

1 m2 = 1m x 1m = 100cm x 100cm = 10000 cm2

1 m2 = 1000mm x 1000mm = 1.000.000 mm2

Exercícios envolvendo comprimento e área

1- Quantos metros quadrados contém um quilômetro quadrado ?

2- Quantos metros quadrados contém uma quadra de esportes com 100 m de lado ?

3- Um terreno mede 10 m de frente por 30 m de fundo. Qual sua área ?

I SEMINÁRIO MATEMATICAMENTE DIGITAL

O SEMINÁRIO MATEMATICAMENTE DIGITAL TEM COMO OBJETIVO PRINCIPAL ESTABELECER A PESQUISA E O ENSINO DE METODOLOGIAS DE TRABALHOS PARA OS ALUNOS DO PRIMEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO.
OS TEMAS ABORDADOS NO SEMINÁRIO FORAM:

• A CALCULADORA - INSTRUMENTO TECNOLÓGICO NO ENSINO DA MATEMÁTICA.
• GRANDES MATEMÁTICOS
• JOGOS MATEMÁTICOS
• AS OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
• RACIOCÍNIO LÓGICO
• ORIGEM DOS NÚMEROS

A EQUIPE DESTAQUE DESSE I SEMINÁRIO MATEMATICAMENTE DIGITAL FICOU COM AS OPERAÇÕES BÁSICAS DA MATEMÁTICA: TURMA 1 ANO B.
COM PONTUAÇÃO:
TRABALHO REDIGIDO: 40 PONTOS
TRABALHO APRESENTADO: 45 PONTOS
TOTAL DE PONTOS: 85 PONTOS. (Nota parcial. 9,0 (Nove)).
PARABÉNS AOS INTEGRANTES DA EQUIPE.

• ALEF RAMALHO
  
• AMANDA PEREIRA
  
• ANA KELLY
• CICERO WALISSON
• PAULO PEREIRA
• RARIZA PEREIRA
• VANESSA TAVARES
• WALLYSON KELSON.

"as operações fundamentais da matemática são de extrema importância não só na nossa vida escolar mais como no nosso cotidiano em geral e que elas indispensáveis para nossas vidas, porém obtivemos um bom aprendizado nesse trabalho". (equipe 1 ano B).

PORCENTAGEM

Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática \frac x {100}.

Porém, alguns documentos antigos altamente sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do conceito de representar valores em relação a uma centena é atribuída aos gregos.

Símbolo no século XV

Símbolo no século XVII

Símbolo a partir do século XVIII

Ponto percentual

Ponto Percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de porcentagens.

Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)} mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%.

O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros.


Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal

Trabalhando com Porcentagem
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.
Exemplos:
1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.
3.Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.
4.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?

Os números Irracionais

Os números irracionais são números que não se podem exprimir como uma razão (isto é, um quociente, uma fracção) de números inteiros. São… incalculáveis e incomensuráveis. Por isso também lhe chamaram números “mudos”, números“cegos”, números “surdos”, ou ainda números que “perderam a razão”…



A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está ligada com dados de geométricos que se podem concretizar no problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparada com o seu lado:


Teorema de Pitágoras:

" A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipótenusa "



Dado um quadrado de lado igual à unidade,

quanto mede a diagonal?



Neste quadrado, de lado 1, verificamos que a diagonal d² = 1² + 1² = 2, então teremos que o comprimento da diagonal é dado pela √2.

Foi a tentar resolver este problema usando o Teorema de Pitágoras que os gregos descobriram um "novo" número: o número √2.

O Teorema de Pitágoras provocou, assim, a descoberta de novos números: os irracionais. Representam um marco importante para o pensamento humano, mas foi muito perturbadora para os pitagóricos. De tal maneira, que quiseram manter secreta esta descoberta.

A raiz quadrada de 2 é portanto um dos números irracionais mais célebres. Se tentarmos calculá-la vemos logo que deve ser 1 e …. Qualquer coisa. Mas a “qualquer coisa” é que é o problema! Alguns matemáticos antigos iam perdendo também a razão a tentar descobrir essa “qualquer coisa”! O mais que apuraram, pobres deles, foi 17/12, que é 1 mais “qualquer coisa” (1 é, como sabes, 12/12). Mas o quadrado de 17/12 é 289/144… E que 2 é… 288/144!

Era “quase”!

Os números irracionais são números que são quase exprimíveis como um quociente de números inteiros… Mas a que falta sempre o “quase”!

Assim,

Um número será irracional quando não se pode traduzir por uma fracção do tipo a/b. Dito de outra maneira: Um número diz-se irracional quando não pode exprimir-se por uma dízima finita ou infinita periódica. (Uma dízima será infinita periódica quando existir um conjunto de algarismos que se repete. Exemplo: 1,23452345... que muitas vezes se escreve 1,(2345). O período é o conjunto desses algarismos que se repetem, no nosso exemplo o período é 2345)



Curiosidade

O resultado d cálculo de √2 com algumas(250 ! ! !) casas decimais:
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797 379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248 360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011 527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986 095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463...


Um irracional famoso

Talvez o mais famoso número irracional seja o PI ( ), o quociente entre o perímetro e o diâmetro de um círculo. As calculadoras científicas têm uma tecla para acesso directo a um valor aproximado de com dez, ou mais, dígitos. Por vezes, quando se calcula o perímetro ou uma área de um círculo utiliza‑se como valor aproximado de 3,14... mas actualmente ele já foi calculado com milhões de casas decimais

EXERCICIO:
1 - DE ACORROO COM OS NÚMEROS IRRACIONAIS PESQUISE SOBRE A ORIGEM DO SIMBOLO PI E PUBLIQUE EM SEU COMENTÁRIO !
2 - QUAL A PRINCIPAL DIFERENÇA ENTRE O CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS DO CONJUNTO DOS NUMEROS IRRACIONAIS!
3 - IDENTIFIQUE AS PRINCIPAIS PREMISSAS DO TEXTO ACIMA !

Aula 01 02 03 04 Matemática

Lógica matemática

Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático-- ou, como propõe Alonzo Church (*Introduction to Mathematical Logic* (Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1956; décima edição, 1996), 'lógica tratada pelo método matemático'. No início do século XX, lógicos e filósofos tentaram provar que a matemática, ou parte da matemática, poderia ser reduzida à lógica.(Gottlob Frege, p.ex., tentou reduzir a aritmética à lógica; Bertrand Russell e A. N. Whitehead, tentaram reduzir toda a matemática então conhecida à lógica -- a chamada 'lógica de segunda ordem'.) Uma das suas doutrinas lógico-semânticas era que a descoberta da forma lógica de uma frase, na verdade, revela a forma adequada de dizê-la, ou revela alguma essência previamente escondida. Há um certo consenso que a redução falhou -- ou que precisaria de ajustes --, assim como há um certo consenso que a lógica -- ou alguma lógica -- é uma maneira precisa de representar o raciocínio matemático. Ciência que tem por objeto o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos.

Sudoku é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante. Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1 a 9. Não há nenhum tipo de matemática envolvida.

Exercício !!
Resolver o Sudoku acima !!! em folha e entregar até dia 11-05 - 2009 (trabalho de dupla ) .

CONJUNTOS

INICIANDO O ANO DE 2009 EM NOSSO LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA INTRODUZIMOS O CONTEÚDO JA ESTUDADO SOBRE CONJUNTOS PARA DESENVOLVERMOS E SEGUIRMOS NOSSO PROJETO ....
BONS ESTUDOS.... RIBAMAR FILHO

Introdução

Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre chaves (o uso de "parênteses" ou "colchetes" é incomum) como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3}

{1, 2, 2, 1, 3, 2}

{x : x é um número inteiro tal que 0<4}

Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.

É possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o paradoxo de Russell).

Dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro.

União, interseção e diferença

Ver artigo principal: União

A união (ou reunião) de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos e .

A união de N conjuntos é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos .

Ver artigo principal: Interseção

A interseção de dois conjuntos e é o conjunto composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos e .

A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos de que não pertencem a .

Notação dos conjuntos

Os conjuntos são representados de diversas formas:

• A forma mais usual é a que apresenta os elementos entre duas chaves ({});
• As propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das {}, após os elementos e separadas destes por :;
• Diagrama de Venn-Euler: é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

Exemplos de conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.

1. Números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.
2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.
5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo usualmente representa este conjunto.

Intervalo (matemática)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Na álgebra elementar, um intervalo é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados, e possivelmente os próprios extremos. Os extremos podem ser números reais como podem ser e .

Representação

Uma maneira de representar os intervalos, mais comum é a seguinte:

• 
• 
• 
• 

Notação em símbolos de um intervalo

Habitualmente se utilizam os colchetes - “[” e “]” - para indicar que um dos extremos do intervalo é parte deste intervalo e os parênteses - “(” e “)” - ou, também, os colchetes invertidos - “]” e “[” para indicar o contrário.

Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa o conjunto dos x ε R, tal que a < style="font-weight: bold;">a não faz parte do intervalo.

Representação de um intervalo na reta real

Um intervalo é representado na reta real utilizando-se de uma pequena “bolinha vazia” para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma “bolinha cheia” para indicar que o ponto extremo pertence.

Tipos de Intervalos

Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como:

a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b - a:

[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}

b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b - a:

[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x <>

c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a:

(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a <>

d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b - a:

]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a <>

e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:

]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x <>

f) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito:

]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}

g) Intervalo fechado à esquerda de comprimento infinito:

[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}

h) Intervalo aberto à esquerda de comprimento infinito:

]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}

i) Intervalo aberto de comprimento infinito:

]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R

j) Intervalo fechado de comprimento nulo:

Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado, então a = b e esse intervalo corresponde ao conjunto unitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.

Concluo a classificação dos intervalos com a seguinte pergunta para vocês: E o intervalo vazio como seria definido?

União e Intersecção de Intervalos

Como intervalos são conjuntos é natural que as operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na resolução de alguns problemas.

E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas operações é através da representação gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo prático de como efetuar tais operações.

Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A U B e A ∩ B.

Primeiramente, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B:

A ∩ B = {x ε R | 1 < b =" {x">

Questões:

1) Qual a importância do Diagrama de Venn-Euler para os conjuntos?

2) Defina o conjunto dos números reais.

3) Qual a importância do estudo do intervalo para solução de conjuntos ?

4) o símbolo +∞ representa o que ?

5) Leia por extensão :

S = {____________________}