PORCENTAGEM

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal

Trabalhando com Porcentagem
Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.
Exemplos:
1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
2.Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.
3.Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.
4.Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?

GRAFICO DE FUNÇÂO Aula 53 e 54

O gráfico da função definida de em por:

F(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)

É uma curva chamada parábola.

Dependendo do sinal do coeficiente a, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima ( a > 0) ou voltada para baixo (a < style="text-align: right;">





A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.

Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função. Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:

Δ > 0 – A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.

Δ = 0 – A parábola tangencia o eixo Ox.






• Lembre-se de que o gráfico corta o eixo Oy na imagem de 0, isto é, f(0). A ordem desse ponto é o coeficiente c.

F(x) = ax² + bx + c → f(0) = c














1 .Explique o processo para uma função ser crescente .
2. para que serve as coordenadas do vértice?
3. quando o valor de " a " é negativo a função continua sendo crescente? caso contrario explique o processo inverso.
4 . explique quando a variação de sinal do Δ ocorre. ]
quando Δ <> o e Δ = o.

Circunferência !

A importância da circunferência
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.
Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.



Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.



Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.



Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.



Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.



Observações: Em uma circunferência dada, temos que:

A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).


A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.

Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.

Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).


Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).


Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.


Propriedades de arcos e cordas
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.




Observações

Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.


Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes.

Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos.

Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes.


1º Qual a importância de estudar a circunferência para o dia a dia?
2º uma volta completa na circunferencia em graus corresponde a quanto ?
3º Qual a diferença entre os pontos interiores e exteriores na cincunferência ?
4ºem mediadas de radianos ! 360º corresponde a quanto ?

Continuação ... Polígonos!

Aula 45 e 46 Polígonos !

Por que foram inventadas as figuras geométricas?
O homem primitivo desenhava o que sentia e o que via. Eram as chamadas pinturas rupestres, desenhos naturais, livres, que ficaram registrados em muitas cavernas em diversas regiões do mundo. Assim nasceu a chamada arte pictórica. O homem não sabia o que eram triângulos, quadrados ou hexágonos, pelo menos até sentir a necessidade de construí-los, quando passou a viver fora das cavernas. Com esta mudança teve início uma nova e importante atividade: a de construir. Inicialmente rústicas, as construções logo exigiram um aprimoramento nos traços e nas definições. O desenho tornou-se uma ferramenta básica nesse processo, aliada à valorização das formas como elemento de harmonia e beleza. Foi na Grécia que se deu um importante passo na teorização da ciência das formas.

1. Polígonos na vida cotidianaAndando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos.

As linhas poligonais são formadas por segmentos da reta. As que têm suas extremidades livres são linhas poligonais abertas, e as que não têm as extremidades livres são fechadas

Para lembrar:
Polígono é a parte do plano limitada por uma linha poligonal fechada

O contorno do polígono é a linha poligonal fechada que o limita.

Os lados desta figura geométrica são compostos pelos segmentos de reta que formam a linha poligonal. Denominamos vértices do polígono os pontos em que dois lados se unem

Matemática

Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias
Por que foram inventadas as figuras geométricas?

O homem primitivo desenhava o que sentia e o que via. Eram as chamadas pinturas rupestres, desenhos naturais, livres, que ficaram registrados em muitas cavernas em diversas regiões do mundo. Assim nasceu a chamada arte pictórica. O homem não sabia o que eram triângulos, quadrados ou hexágonos, pelo menos até sentir a necessidade de construí-los, quando passou a viver fora das cavernas. Com esta mudança teve início uma nova e importante atividade: a de construir. Inicialmente rústicas, as construções logo exigiram um aprimoramento nos traços e nas definições. O desenho tornou-se uma ferramenta básica nesse processo, aliada à valorização das formas como elemento de harmonia e beleza. Foi na Grécia que se deu um importante passo na teorização da ciência das formas.
Hoje em dia os materiais usados na construção de pontes pênseis ou de tirantes adotam formas poligonais, que dão segurança e modernidade à sua estrutura1.

Polígonos na vida cotidianaAndando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos.
2. Elementos e classificaçãoAs linhas poligonais são formadas por segmentos da reta. As que têm suas extremidades livres são linhas poligonais abertas, e as que não têm as extremidades livres são fechadas (Figura 1).
Figura 1
Para lembrar:
Polígono é a parte do plano limitada por uma linha poligonal fechada.
Observe que o interior da linha poligonal ABCD (Figura 2) está colorido: esta linha e seu interior formam um polígono.

O contorno do polígono é a linha poligonal fechada que o limita.

Os lados desta figura geométrica são compostos pelos segmentos de reta que formam a linha poligonal. Denominamos vértices do polígono os pontos em que dois lados se unem.

Os ângulos do polígono são os ângulos internos formados pelos lados do polígono.
As diagonais de um polígono são os segmentos que unem dois vértices não consecutivos.

Se traçarmos diagonais em um polígono, podemos decompô-lo em triângulos.
Os polígonos podem ser classificados segundo o número de lados que tiverem.

Com 3 lados serão triângulos.
•
Com 4 lados serão quadriláteros.
•
Com 5 lados serão pentágonos.
•
Com 6 lados serão hexágonos.
•
Com 7 lados serão heptágonos.
•
Com 8 lados serão octógonos.
•
Com 9 lados serão eneágonos.
•
Com 10 lados serão decágonos.
•
Com 12 lados serão dodecágonos.
•
Com 20 lados serão icoságonos.

Os polígonos também são classificados segundo seus ângulos. Se uma figura tiver todos os seus ângulos convexos, isto é, menores que 180°, será um polígono convexo. Se tiver pelo menos um ângulo côncavo, maior que 180°, será um polígono côncavo.

1. Indique alguns poligonos usados em sua vida cotidiana.

2. Num quadrilátero ABCD, Â = 90°, = 80° e = 70°. Quanto mede o ângulo ?

3. Qual o polígono de menor número de lados?

4.Indicar como deve ser um paralelogramo para que seja um quadrado.

5. Qual a diferença do quadrado e do losango

Pérolas de Matemática !! muito Engaçado ! VEJAM !!!

Que meus alunos nao cheguem a fazer isso !!!!!!

15 /10 Dia Especial na Educaçao ! Parabéns Professores Polivalente!

Ninguém nega o valor da educação e que um bom professor é imprescindível. Mas, ainda que desejem bons professores para seus filhos, poucos pais desejam que seus filhos sejam professores. Isso nos mostra o reconhecimento que o trabalho de educar é duro, difícil e necessário, mas que permitimos que esses profissionais continuem sendo desvalorizados. Apesar de mal remunerados, com baixo prestígio social e responsabilizados pelo fracasso da educação, grande parte resiste e continua apaixonada pelo seu trabalho.

A data é um convite para que todos, pais, alunos, sociedade, repensemos nossos papéis e nossas atitudes, pois com elas demonstramos o compromisso com a educação que queremos. Aos professores, fica o convite para que não descuidem de sua missão de educar, nem desanimem diante dos desafios, nem deixem de educar as pessoas para serem “águias” e não apenas “galinhas”. Pois, se a educação sozinha não transforma a sociedade, sem ela, tampouco, a sociedade muda.
(Paulo Freire).

AULA 41 e 42 APOSTILA 03 FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo: • 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.• 3a3 + 5a – 1 = 0 → 3a3 + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a3. Portanto, a equação é de 3º grau.• 2y2 + 5 = 0 → 2y2 + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y2. Portanto, a equação é do segundo grau. Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral: ax2 + bx + c = 0 onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.

FUNÇÃO DO 2ºGRAU

Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b e c deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a R* e b e c R. Veja alguns exemplos de Função afim: f(x) = x2 + 2x +1 ; a = 1 , b = 2 , c = 1 (Completa) f(x) = 2x2 – 2x ; a = 2 , b = - 2 , c = 0 (Incompleta) f(x) = - x2 ; a = -1 , b = 0 , b = 0 (Incompleta) Toda função a do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. A função do 2º grau f(x) = x2 + 2x - 1 pode ser representada por y = x2 + 2x - 1. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.



Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente a. Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola. Sendo f(x) = ax2 +bx + c, a ≠ 0, vamos denotar o valor máximo de f(x) por f(x)máx e o valor mínimo por f(x)min. Em resumo, temos:

Note que o máximo ou mínimo da função f(x) = ax2 + bx +c são ambos dados por e ambos ocorrem para x = . Veja, nestes exemplos, a análise do máximo ou mínimo de funções de 2º grau. a) f(x) = 2x2 – 8x + 3 Como a>0, f(x) admite um valor mínimo. Calculando Δ, temos: Δ = (-8) 2 – 4 . 2 . 3 → Δ = 40 Assim,
f(x)min = → f(x)min = -5 O valor de x para o qual f(x) é mínimo é dado por x = → x =2 Em resumo, para x = 2, a função f(x) = 2x2 – 8x + 3 assume o seu valor mínimo que é -5 b) g(x) = -x2 – 6x + 11 Como a < x =" →" x =" -2" x =" →" x =" 3">

1) DIFERENCIE VALOR MAXIMO E MININO NA FUNÇÃO.

2) O QUE SÃO AS COORDENASDAS DO VERTICE?

3) O QUE SIGNIFICA VÉRTICE DA FUNÇAO?

4) COMO CALCULAR OS VÉRTICES DA FUNÇÃO ?
5) EXPLLIQUE PORQUE NA FUNÇAO DE SEGUNDO GRAU O VALOR DE a TEM QUE SER DIFERENTE DE ZERO.

Alunos do Projeto Matemáticamente Digital

Avaliações do 1º A, B, C e D .

NOTAS GERAIS DOS ALUNOS DO POLIVALENTE DA SALA 1ºA, B, C e D. TURNO MANHÃ .

ESTOU SATISFEITO COM O DESEMPENHO DAS SALAS. PARABÉNS !

Clique aqui e baixe o arquivo.

Aula 36 Funçao do Primeiro Grau!

Função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a R* e b R. Veja alguns exemplos de Função afim. f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1 f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1 f(x) = x ; a = 1 e b = 0 f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5 2 2 Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 pode ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x. Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja: x = -2 x = - 1 x = 0 y = 2 . (-2) – 3 y = 2 . (-1) – 3 y = 2 . 0 - 3 y = - 4 – 3 y = -2 – 3 y = -3 y = - 7 y = - 5 x = 1 y = 2 . 1 – 3 y = 2 – 3 y = -1

Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

1 - Quais as classificaçoes de uma função de primeiro grau ? diferencie elas com suas palavras.

2 - qual a equação geral que formaliza uma função do primeiro grau ?

3 - Diferencie, Dominio, Contra Domínio e Imagem.

4 - Defina e exemplifique uma funçao de primeiro grau completa e incompleta.

5 - Como você ultiliza a função de primeiro grau no dia à dia ? (pode exemplificar uma situação).

Aulas 30 e 31 - Pitágoras

Pitágoras nasceu em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso na Grécia e provavelmente recebeu instrução matemática e filosófica de Tales e de seus discípulos. Após viver algum tempo entre jônicos, viajou pelo Egito e Babilônia - possivelmente indo até a Índia. Durante suas peregrinações, ele absorveu não só informações matemáticas e astronômicas como também muitas idéias religiosas. Quando voltou ao mundo grego, Pitágoras estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia (na costa sudoeste da atual Itália), onde fundou a Escola Pitagórica dedicada a estudos religiosos, científicos e filosóficos. À Pitágoras são atribuídas várias descobertas sobre as propriedades dos números inteiros, a construção de figuras geométricas e a demonstração do teorema que leva seu nome (cujo enunciado já era conhecido pelos babilônios). Os próprios termos Filosofia (amor a sabedoria) e Matemática (o que é aprendido) seriam criações de Pitágoras para descrever suas atividades intelectuais.

Os membros da Escola Pitagórica recebiam uma educação formal, onde constavam quatro disciplinas: Geometria, Aritmética, Astronomia e Música, que constituíram as artes liberais e cujo conteúdo tornou-se conhecido na Idade Média como o Quadrivum, que era considerado a bagagem cultural necessária de uma pessoa bem educada. Os pitagóricos elevaram a matemática à categoria das ciências liberais, isto é, tornaram-na independente das necessidades práticas e a transformaram em uma atividade puramente intelectual.

Na filosofia pitagórica afirmava-se que Tudo é número, ou seja, na concepção cosmogônica dos primeiros pitagóricos, a extensão era descontínua, constituída de unidades indivisíveis separadas por um intervalo. Esta idéia provinha do estudo dos números naturais, quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros, isto é, pudessem ser mensuradas, tendo por base um segmento fixado como unitário. Mas eles notaram que a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade é igual a e que este número é incomensurável (hoje chamamos de números irracionais esses números). Esta descoberta foi recebida com grande consternação pelos pitagóricos, pois em certo sentido contrariava as crenças da escola e seria uma imperfeição da divindade.

No estudo de sons musicais em cordas esticadas (com a mesma tensão relativa), descobriram as regras que relacionavam a altura da nota emitida com o comprimento da corda, concluindo que as relações que produziam sons harmoniosos seguiam a proporção dos números inteiros simples do tipo , etc.. Assim, Pitágoras concluiu que havia uma música que representava as relações numéricas da natureza e que constituía sua harmonia interior.

Entre as descobertas sobre a matemática atribuídas aos pitagóricos podemos citar:

a classificação dos números em: primos e compostos, pares e ímpares, amigos, perfeitos e figurados;
o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum;
que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos;
se um polígono tem n lados, então a soma dos ângulos internos do polígono é igual a (2n - 4) ângulos retos;

Também desenvolveram métodos geométricos para demonstrar diversas identidades algébricas e estudaram os sólidos regulares: tetraedro, o cubo e o dodecaedro.

O símbolo que representava os pitagóricos era o pentagrama ou pentágono estrelado, isto devido às propriedades desta figura, pois ao desenharmos um pentágono regular e traçarmos as suas diagonais, veremos que elas se cruzam e formam um novo pentágono interior ao anterior. A interseção de duas diagonais divide a diagonal de uma forma especial chamada pelos gregos de divisão em média e extrema razão e que conhecemos também como secção áurea.

1 - Sobre a história de Pitágoras. Qual a importancia dele no estudo da Geometria?
2- qual a relaçao dos teoremas pitagoricos com a musica ?
3 - Explique o que significa Quadrivum.
4 - qual a relaçao dos métodos pitagóricos e os ângulos internos de um polígono?
5 - o que vc entendeu sobre concepção cosmogônica ?

Semelhança de Triangulos Aula 28 e 29 ap.02

Definição de Semelhança entre Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

Propriedades:
a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.
b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.
c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.

Teorema Fundamental

Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
A demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser demonstrado a partir dos critérios de semelhança .
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra.


Pelo Teorema de Tales temos que:

m(AD)/m(AB) = m(AE)/m(AC) [1]

Por E construímos a reta EF paralela a BD, conforme indicado na figura acima. Do paralelogramo BDEF temos que m(DE) = m(BF). E, novamente, pelo Teorema de Tales:

m(AE)/m(AC) = m(BF)/m(BC) => m(AE)/m(AC) = m(DE)/m(BC) [2]

De [1] e [2] vem que os lados homólogos são proporcionais, o que conclui a demonstração.

Observação: Nos termos do tipo m(AE), utlizados acima, imagine uma barra sobre AE para se ter a notação correta conforme indicado anteriormente.

1. O que vc compreendeu entre triangulos semelhantes ?
2. Discuta um pouco sobre simetria de triângulos, reflexão de triângulos e triângulo transitivo
3. existe diferença entre triângulo semelhante e triângulos conguentes? justifique sua esposta.

Relações Angulares no Triângulo - Aula 26 e 27 ap. 02

Geometria e Cultura
Rosa M. Mazo Reis*

Um passeio na história

As primeiras considerações humanas a respeito da Geometria originaram-se da necessidade de "medir a terra". As atividades incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos. Quando o homem sai das cavernas e começa a ter que construir sua morada, os conceitos de verticalidade, horizontalidade e paralelismo, entre outros, estão presentes.
As antigas civilizações de beira-rio (Nilo, Tigre, Eufrates, Ganges, Indo) desenvolveram uma habilidade em engenharia na drenagem de pântanos, na irrigação, na defesa contra inundação, na construção de templos e edifícios. Utilizavam uma Geometria prática.
Observamos, também, diversos outros momentos em que a Geometria foi empregada pelos povos considerados primitivos: na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites e na criação de desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade, aparecem em cerâmicas, cestarias, e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados e círculos, além de outras mais complexas.
Tanto as "tábulas" de argila dos babilônios, quanto os papiros registram atividades do homem no campo da Geometria. Acredita-se datarem do ano 3000 a. C., época dos sumérios, as "tábulas" mais antigas descobertas. E os papiros de 1850 a. C. contêm textos matemáticos com problemas, vinte e seis deles de Geometria.
Isso sem falar na pirâmide de Giseh, que demonstra que os egípcios em 2900 a. C. possuíam conhecimentos geométricos para construí-la. A precisão do alinhamento, da medição e dos ângulos retos é impressionante, qualquer que sejam os critérios aplicados.
Se já se fazia Geometria há tanto tempo, por que só ouvimos falar do conhecimento geométrico a partir dos gregos? Porque coube aos gregos o estabelecimento de um sistema de regras organizado não apenas por procedimentos empíricos.
Depois de mais de um milênio do provável início da Geometria na Grécia, Proclus relata o desenvolvimento desta Geometria grega desde Tales de Mileto. Tales morou no Egito e trouxe a Geometria para a Grécia. Ele aplicou os argumentos dedutivos da Filosofia à Geometria.
Proclus escreveu o Sumário eudemiano. Depois de Tales, ele fala de Pitágoras, que parece ter feito percurso semelhante a Tales, e talvez tenha mesmo sido seu discípulo. Pitágoras, entre outros estudos, enunciou um dos teoremas mais importantes.
"O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos."
Como dissemos antes, nas pirâmides e em outras construções já se podia observar essa relação, mas foi com os gregos que ela foi formalizada da maneira que é ensinada hoje.
Os babilônios, mais de mil anos antes de Pitágoras, estudaram e descobriram a relação da diagonal de um quadrado com a medida do lado do mesmo. Prova suficiente que conheciam o teorema associado a Pitágoras.
A tábula de argila Plimpton 322 contém colunas de algarismos relacionados com os ternos pitagóricos (o quadrado do maior dos três números é igual à soma dos quadrados dos outros dois).
Os egípcios, já em 2000 a. C., conheciam a relação 42 + 32 = 52, mas não podemos afirmar que demonstrassem a propriedade do ângulo reto da figura envolvida nesta relação.
Os Sulvasutras (500 a. C.) fornecem regras da Matemática hindu a serem seguidas para obedecer a certas proporções em altares. Tais regras são aplicações do teorema de Pitágoras e demonstram um conhecimento do mesmo.
Padrões que apresentam uma simetria rotacional de 90 graus ocorrem freqüentemente na decoração africana, como relata Paulus Gerdes na sua obra, Pitágoras africano.
Hoje, também a cultura influi no fazer Geometria.
Percorrendo a história da Humanidade, temos contato com diferentes culturas. De certa maneira, a agricultura, a pecuária e o artesanato caracterizam esta diversidade cultural. A forma encontra-se presente nas criações do homem para aproveitar ou conviver com as peculiaridades de cada região, e manifesta-se na maneira de trabalhar com a terra, de produzir utensílios e ornamentos. Se entendermos Geometria como estudo da forma, cada região tem um vasto campo a ser estudado. Este estudo resgataria as raízes étnicas e culturais. O aprendiz envolvido neste processo sente-se enraizado e aumenta sua auto-estima.
Esta metodologia, chamada por uns de Modelagem Matemática e por outros de Etnomatemática, permite uma livre interpretação, uma aprendizagem através do erro, uma observação de padrões e posterior generalização e, ainda, um resgate da cultura na qual o aprendiz encontra-se inserido.

1º De acordo com seus conhecimentos o que você entendeu sobre Sumário Eudemiano?

2º Comente sobre a relação que Tales beneficiou no estudo da geometria.

3º Explique o conceiro de Geometria Demonstrativa de acordo com Tales.

4º De acordo com o que foi estudado na aula 26 e 27 diferencie os ângulos correspondentes e ângulos alterno.

5º Quais as condiçoes para que um triângulo seja Equilátero ? e quanto será os valores de seus ângulos ?

Os elementos de Euclides de acordo com a aula 24 e 25 da apostila 02

A seguir às definições, aparecem os Postulados e as Noções Comuns ou Axiomas, por esta ordem. Os Postulados são proposições geométricas específicas. "Postular" significa "pedir para aceitar". Assim, Euclides pede ao leitor para aceitar as cinco proposições geométricas que formula nos Postulados: 1. Dados dois pontos, há um segmento de recta que os une; 2. Um segmento de recta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma recta; 3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada; 4. Todos os ângulos rectos são iguais; 5. Se uma linha recta cortar duas outras rectas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois rectos, então essas duas rectas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos (É este o célebre 5º Postulado de Euclides)
Assim, três conceitos fundamentais - o de ponto, o de recta e o de círculo - e cinco postulados a eles referentes, servem de base para toda a geometria euclidiana

1° A sua definição de Geometria é :

2º O que é pensamento Geométrico?

3º O que você entende pela Arte Rupestre?

4º Com suas palavras, defina, interprete e exemplique a Geometria Criativa.

5º Classifique os triângulos e defina-os.

6º Com suas palavras comente sobre a Geometria euclediana.

7º Com relação as figuras geométricas como você definiria as palavras. Vértice, ângulo, bissetriz, incentro, baricentro e ortocentro.

O projeto Primeiro Aprender !!!

A Secretaria da Educação preocupada com o déficit na aprendizagem dos alunos, idealizou uma intervenção pedagógica coletiva.

Com isso idealizaremos nossas aulas através das aulas oferecidas pelo projeto com a ajuda tambem de nossas tecnologias oferecidas em nossa escola !

BEM VINDO ALUNOS DO POLIVALENTE

Estamos aqui para iniciar uma nova etapa em nossas aulas !! estaremos disponibilizando nosso blog para compartilharmos aprendizado. Vamos criar situaçoes e desafios para trabalharmos nossos conhecimentos visto em sala de aula !! vamos fazer a diferença !!

Ribamar Bringel Filho