Relações Angulares no Triângulo - Aula 26 e 27 ap. 02

Geometria e Cultura
Rosa M. Mazo Reis*

Um passeio na história

As primeiras considerações humanas a respeito da Geometria originaram-se da necessidade de "medir a terra". As atividades incluíam observações, comparações e relações entre formas e tamanhos. Quando o homem sai das cavernas e começa a ter que construir sua morada, os conceitos de verticalidade, horizontalidade e paralelismo, entre outros, estão presentes.
As antigas civilizações de beira-rio (Nilo, Tigre, Eufrates, Ganges, Indo) desenvolveram uma habilidade em engenharia na drenagem de pântanos, na irrigação, na defesa contra inundação, na construção de templos e edifícios. Utilizavam uma Geometria prática.
Observamos, também, diversos outros momentos em que a Geometria foi empregada pelos povos considerados primitivos: na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites e na criação de desenhos para a pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade, aparecem em cerâmicas, cestarias, e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados e círculos, além de outras mais complexas.
Tanto as "tábulas" de argila dos babilônios, quanto os papiros registram atividades do homem no campo da Geometria. Acredita-se datarem do ano 3000 a. C., época dos sumérios, as "tábulas" mais antigas descobertas. E os papiros de 1850 a. C. contêm textos matemáticos com problemas, vinte e seis deles de Geometria.
Isso sem falar na pirâmide de Giseh, que demonstra que os egípcios em 2900 a. C. possuíam conhecimentos geométricos para construí-la. A precisão do alinhamento, da medição e dos ângulos retos é impressionante, qualquer que sejam os critérios aplicados.
Se já se fazia Geometria há tanto tempo, por que só ouvimos falar do conhecimento geométrico a partir dos gregos? Porque coube aos gregos o estabelecimento de um sistema de regras organizado não apenas por procedimentos empíricos.
Depois de mais de um milênio do provável início da Geometria na Grécia, Proclus relata o desenvolvimento desta Geometria grega desde Tales de Mileto. Tales morou no Egito e trouxe a Geometria para a Grécia. Ele aplicou os argumentos dedutivos da Filosofia à Geometria.
Proclus escreveu o Sumário eudemiano. Depois de Tales, ele fala de Pitágoras, que parece ter feito percurso semelhante a Tales, e talvez tenha mesmo sido seu discípulo. Pitágoras, entre outros estudos, enunciou um dos teoremas mais importantes.
"O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos."
Como dissemos antes, nas pirâmides e em outras construções já se podia observar essa relação, mas foi com os gregos que ela foi formalizada da maneira que é ensinada hoje.
Os babilônios, mais de mil anos antes de Pitágoras, estudaram e descobriram a relação da diagonal de um quadrado com a medida do lado do mesmo. Prova suficiente que conheciam o teorema associado a Pitágoras.
A tábula de argila Plimpton 322 contém colunas de algarismos relacionados com os ternos pitagóricos (o quadrado do maior dos três números é igual à soma dos quadrados dos outros dois).
Os egípcios, já em 2000 a. C., conheciam a relação 42 + 32 = 52, mas não podemos afirmar que demonstrassem a propriedade do ângulo reto da figura envolvida nesta relação.
Os Sulvasutras (500 a. C.) fornecem regras da Matemática hindu a serem seguidas para obedecer a certas proporções em altares. Tais regras são aplicações do teorema de Pitágoras e demonstram um conhecimento do mesmo.
Padrões que apresentam uma simetria rotacional de 90 graus ocorrem freqüentemente na decoração africana, como relata Paulus Gerdes na sua obra, Pitágoras africano.
Hoje, também a cultura influi no fazer Geometria.
Percorrendo a história da Humanidade, temos contato com diferentes culturas. De certa maneira, a agricultura, a pecuária e o artesanato caracterizam esta diversidade cultural. A forma encontra-se presente nas criações do homem para aproveitar ou conviver com as peculiaridades de cada região, e manifesta-se na maneira de trabalhar com a terra, de produzir utensílios e ornamentos. Se entendermos Geometria como estudo da forma, cada região tem um vasto campo a ser estudado. Este estudo resgataria as raízes étnicas e culturais. O aprendiz envolvido neste processo sente-se enraizado e aumenta sua auto-estima.
Esta metodologia, chamada por uns de Modelagem Matemática e por outros de Etnomatemática, permite uma livre interpretação, uma aprendizagem através do erro, uma observação de padrões e posterior generalização e, ainda, um resgate da cultura na qual o aprendiz encontra-se inserido.

1º De acordo com seus conhecimentos o que você entendeu sobre Sumário Eudemiano?

2º Comente sobre a relação que Tales beneficiou no estudo da geometria.

3º Explique o conceiro de Geometria Demonstrativa de acordo com Tales.

4º De acordo com o que foi estudado na aula 26 e 27 diferencie os ângulos correspondentes e ângulos alterno.

5º Quais as condiçoes para que um triângulo seja Equilátero ? e quanto será os valores de seus ângulos ?